Виды функций и их свойства

• 1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
• 2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к№ 0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

• 1. Область определения функциимножество всех действительных чисел
• 2. y=kx — нечетная функция
• 3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
• 3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

• 1. Область определениямножество всех действительных чисел
• 2. Функция y=kx+b общего вида, т. е. ни чётна, ни нечётна.
• 3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4) Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k№ 0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

• 1. Область определениямножество всех действительных чисел кроме нуля
• 2. y=k/x- нечетная функция
• 3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+Ґ) и на промежутке (-Ґ;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-Ґ;0) и на промежутке (0;+Ґ).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x²

Свойства функции y=x²:

• 1. Область определениявся числовая прямая
• 2. y=x² — четная функция
• 3. На промежутке [0;+Ґ) функция возрастает
• 4. На промежутке (-Ґ;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x³

Свойства функции y=x³:

• 1. Область определениявся числовая прямая
• 2. y=x³ —нечетная функция
• 3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой.

y=xⁿ, где n— натуральное число. При n=1 получаем функцию.

y=x, ее свойства рассмотрены в п. 2. При n=2;3 получаем функции y=x²;

y=x³. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть nпроизвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция.

y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x².

График функции напоминает параболу y=x², только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n.

Пусть nпроизвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x.

График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x^-n, где n— натуральное число.

При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п. 4.

Пусть nнечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=x^-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть nчетное число, например n=2.

Свойства функции y=x^-2:

• 1. Функция определена при всех x№ 0
• 2. y=x^-2 — четная функция
• 3. Функция убывает на (0;+Ґ) и возрастает на (-Ґ;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=Цх

Свойства функции y=Цх:

• 1. Область определения — луч [0;+Ґ).
• 2. Функция y=Цх — общего вида
• 3. Функция возрастает на луче [0;+Ґ).
• 10)Функция y=³Цх

Свойства функции y=³Цх:

• 1. Область определениявся числовая прямая
• 2. Функция y=³Цх нечетна.
• 3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
• 11)Функция y=ⁿЦх

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Цх. При нечетном n функция y=ⁿЦх обладает теми же свойствами, что и функция y=³Цх.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=x^r, где r— положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x^r:

• 1. Область определениялуч [0;+Ґ).
• 2. Функция общего вида
• 3. Функция возрастает на [0;+Ґ).

На рисунке изображен график функции y=x^5/2. Он заключен между графиками функций y=x² и y=x³, заданных на промежутке [0;+Ґ).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x^r, где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x^2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x^r, где 0.

13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x^-r, где r— положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x^-r:

• 1. Обл. определенияпромежуток (0;+Ґ)
• 2. Функция общего вида
• 3. Функция убывает на (0;+Ґ)
• 14)Обратная функция

Если функция y=f (x) такова, что для любого ее значения y_o уравнение f (x)=y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f (x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f (x), надо график функции y=f (x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. функция графический аналитический табличный Получается: y (x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.