Формула Симпсона для вычисления двойных интегралов

Вычислить.

.

Область интегрирования здесь — прямоугольник со сторонами и Применим формулу Симпсона, вычисляя определенный интеграл сначала по, затем по .

Рис. Область интегрирования

Пусть.

.

.

Тогда.

Для повышения точности вычислений область покрывается сетью прямоугольников. В этом случае.

.

и значение двойного интеграла вычисляется в виде.

Где.

.

Если — криволинейная область, то для применения полученной формулы Симпсона область заключают в прямоугольник и пользуются вспомогательной функцией.

Тогда.

и для вычисления последнего интеграла привлекают метод Симпсона.

Вычисление многомерных интегралов методом Монте-Карло

Пусть необходимо вычислить.

.

Заключим область интегрирования внутрьмерного параллепипеда со сторонами, т. е.. Сделаем замену переменных.

.

Тогдамерный параллепипед преобразуется вмерный единичный куб, т. к.

.

Область преобразуется в область, заключенную внутримерного единичного куба.

Рис. 12.3. Преобразование области интегрирования в двумерном случае

С учетом преобразования переменных.

где .

По теореме о среднем можно положить.

.

где — объем области интегрирования , — усредненное значение функции в области .

Для вычисления и воспользуемся методом статистических испытаний (методом Монте-Карло). Пусть мы умеем строить случайные числа, распределенные в интервале по равномерному закону. Обозначим через случайную точкумерного пространства, координаты которой являются независимыми случайными величинами, распределенными в интервале по равномерному закону. Используя датчик случайных чисел, сформируем случайных точек .

Разобьем это множество точек на два подмножества:

Пусть подмножество содержит элементов, т. е. точек из общего числа принадлежат области интегрирования. Тогда.

.

Окончательное расчетное соотношение метода Монте-Карло для вычисления определенных интегралов принимает вид.

.

Методом Монте-Карло пользуются в тех случаях, когда достаточен невысокий порядок точности.