Теорема Гаусса. 
Проводник в электрическом токе

Принцип суперпозиции в сочетании с законом Кулона даёт ключ к вычислению электрического поля произвольной системы зарядов, но непосредственное суммирование полей по формуле (4.2) обычно требует сложных вычислений. Впрочем, при наличии той или иной симметрии системы зарядов вычисления существенно упрощаются, если ввести понятие потока электрического поля и использовать теорему Гаусса.

Представления о потоке электрического поля привнесены в электродинамику из гидродинамики. В гидродинамике поток жидкости через трубу, то есть объём жидкости N, проходящий через сечение трубы в единицу времени, равен v? S, где v — скорость жидкости, а S — площадь сечения трубы. Если скорость жидкости изменяется по сечению, нужно использовать интегральную формулу N =? Sv>?dS>. Действительно, выделим в поле скоростей малую площадку dS, перпендикулярную к вектору скорости (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Поток жидкости

Объём жидкости, протекающий через эту площадку за время dt, равен v dS dt. Если площадка наклонена к потоку, то соответствующий объём будет v dScosиdt, где и — угол между вектором скорости v> и нормалью n> к площадке dS. Объём жидкости, протекающий через площадку dS в единицу времени получается делением этой величины на dt. Он равен v dS cosиdt, т. е. скалярному произведению v>?dS> вектора скорости v> на вектор элемента площади dS> = n>dS. Единичный вектор n> нормали к площадке dS можно провести в двух прямо противоположных направлениях. одно из них условно принимается за положительное. В этом направлении и проводится нормаль n>. Та сторона площадки, из которой выходит нормаль n>, называется внешней, а та, в которую нормаль n> входит, — внутренней. Вектор элемента площади dS> направлен по внешней нормали n> к поверхности, а по величине равен площади элемента dS = ?dS>?. При вычислении объёма протекающей жидкости через площадку S конечных размеров, её надо развить на бесконечно малые площадки dS, а затем вычислить интеграл? Sv>?dS> по всей поверхности S.

Выражения типа? Sv>?dS> встречаются во многих отраслях физики и математики. Они называются потоком вектора v> через поверхность S независимо от природы вектора v>. В электродинамике интеграл.

N =? SE>?dS> (5.1).

называют потоком напряженности электрического поля E> через произвольную поверхность S, хотя с этим понятием не связано никакое реальное течение.

Допустим, что вектор E> представляется геометрической суммой.

E> =? jE>j.

Умножив это равенство скалярно на dS> и проинтегрировав, получим.

N =? jNj.

где Nj — поток вектора E>j через ту же самую поверхность. Таким образом, из принципа суперпозиции напряженности электрического поля следует, что потоки через одну и ту же поверхность складываются алгебраически.

Теорема Гаусса гласит, что поток вектора E> через произвольную замкнутую поверхность равен умноженному на 4р суммарному заряду Q всех частиц, находящихся внутри этой поверхности:

? SE>?dS> = 4рQ. (5.2).

Вектор элемента поверхности dS> здесь направлен по нормали, внешней по отношению к тому объему, где сосредоточен заряд Q (рис. 1.5).

Рис. 1.5.

Теорема Гаусса для одного точечного заряда Доказательство теоремы проведем в три этапа.

1. Начнем с вычисления потока электрического поля одного точечного заряда q (рис. 1.5). В простейшем случае, когда поверхность интегрирования S является сферой, а заряд находится в её центре, справедливость теоремы Гаусса практически очевидна. На поверхности сферы напряженность электрического поля.

E> = qr>?r3.

постоянна по величине и всюду направлена по нормали к поверхности, так что поток электрического поля просто равен произведению E = q? r2 на площадь сферы S = 4рr2. Следовательно, N = 4рq. Этот результат не зависит от формы поверхности, окружающей заряд. Чтобы доказать это, выделим произвольную площадку поверхности достаточно малого размера с установленным на ней направлением внешней нормали n>. На рис. 1.6 показан один такой сегмент преувеличенно большого (для наглядности) размера.

Рис. 1.6 Поток электрического в элемент телесного угла

Поток вектора E> через эту площадку равен.

dN = E>?dS> = EcosиdS,.

где и — угол между направлением E> и внешней нормалью n> к площадке dS. Так как E = q? r2, а dScosи? r2 по абсолютной величине есть элемент телесного угла dЩ = dS? cosи??r2, под которым видна площадка dS из точки расположения заряда,.

dN = ±q dЩ.

где знаки плюс и минус отвечают знаку cosи, а именно: следует взять знак плюс, если вектор E> составляет острый угол с направлением внешней нормали n>, и знак минус в противном случае.

2. Теперь рассмотрим конечную поверхность S, охватывающую некоторый выделенный объём V. По отношению к этому объёму всегда можно определить, какое из двух противоположных направлений нормали к любому элементу поверхности S следует считать внешним. Внешняя нормаль направлена из объёма V наружу. Суммируя по сегментам, с точностью до знака имеем N = q Щ, где Щ — телесный угол, под которым видна поверхность S из точки, где находится заряд q. Если поверхность S замкнута, то Щ = 4р при условии, что заряд q находится внутри S. В противном случае Щ = 0. Чтобы пояснить последнее утверждение, можно вновь обратиться к рис. 1.7.

Рис. 1.7 Потоки через площадки, опирающиеся на один телесный угол, но обращенные в разные стороны, взаимно сокращаются

Очевидно, что потоки через сегменты замкнутой поверхности, опирающиеся на равные телесные углы, но обращенные в противоположные стороны, взаимно сокращаются. Очевидно также, что если заряд находится вне замкнутой поверхности, то любому сегменту, обращенному наружу, найдется соответствующий сегмент, обращенный внутрь.

3. Наконец, воспользовавшись принципом суперпозиции, приходим к итоговой формулировке теоремы Гаусса (5.2). Действительно, поле системы зарядов равно сумме полей каждого заряда в отдельности, но в правую часть теоремы (5.2) дают ненулевой вклад только заряды, находящиеся внутри замкнутой поверхности. Этим завершается доказательство.

В макроскопических телах число носителей заряда столь велико, что дискретный ансамбль частиц удобно представить в виде непрерывного распределения, введя понятие плотности заряда. По определению, плотностью заряда с называется отношение ДQ? ДV в пределе, когда объём ДV стремится к физически бесконечно малой величине:

с = limДV >0ДQ ДV = dQ dV. (5.3).

Физически бесконечно малым является объём, который мал по сравнению с любыми другими макроскопическими размерами рассматриваемой задачи, но достаточно велик по сравнению с расстоянием между частицами, в данном случае заряженными частицами. С помощью плотности заряда теорему Гаусса можно переписать в виде.

? SE>?dS> = 4р? V сdV, (5.4).

где интегрирование в правой части производится по объему V, замкнутому поверхностью S.

Теорема Гаусса даёт одно скалярное уравнение на три компоненты вектора E>, поэтому для расчета электрического поля одной этой теоремы недостаточно. Необходима известная симметрия распределения плотности зарядов, чтобы задача могла быть сведена к одному скалярному уравнению. Теорема Гаусса позволяет найти поле в тех случаях, когда поверхность интегрирования в (5.4) удается выбрать так, что напряженность электрического поля E постоянна на всей поверхности.