Пусть в каждом из независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью, (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через вероятность ровно появлений события А в испытаниях. кроме того, пусть — вероятность того, что число появлений события А находится между и .
Локальная теорема Лапласа.
Если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то.
где.
— функция Гаусса (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).
Интегральная теорема Лапласа.
Если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то P (n; k1, k2).
где — функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:
Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при. Причем чем ближе значения к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).
Пример. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.
Решение. По условию.
откуда.
По таблицам найдем.
.
Искомая вероятность равна:
В — наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;
С — число бракованных изделий в коробке не превосходит 20.
Решение. Изготовление детали — это испытание, в котором может появиться событие А — изделие бракованное — с вероятностью. Находим. Можно применять формулы Лапласа:
Приблизительно 9,5% всех коробок содержат 13 бракованных изделий и в 92% коробок число бракованных не превосходит 20.
Пример. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?
Решение. Будем считать, что событие произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи,. Нас интересует такое наименьшее число посетителей, что вероятность одновременного прихода не менее чем туристов из числа с вероятностью успеха приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т. е. .
Таким образом, нас интересует такое наименьшее число, что. Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.
В нашем случае: — неизвестно,.
, .
Тогда.
Используя таблицы для функции, находим,, и, значит,. Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.
