Регулярные сигналы. 
Электроника

Периодическим принято называть сигнал, повторяющийся через регулярные интервалы времени Г:

где t — время (-°° < t < +°°); п — целое число; Г—период повторения.

Периодический сигнал несет информацию, ограниченную одним периодом; все остальные периоды — точная копия первого — дополнительной информации не несут. Следует заметить, что строго периодических сигналов не существует, любой реальный повторяющийся процесс всегда имеет начало и конец.

Простейшим периодическим сигналом является синусоидальный сигнал:

где U₀ — амплитуда колебания; wt + (р₀ — мгновенная фаза; о) — частота, рад/с; ф₀ — начальная фаза; Т — период, с.

Сложные периодические сигналы удобно анализировать с помощью рядов Фурье, представляя сигнал в виде бесконечной суммы синусоидальных и косинусоидальных составляющих:

Здесь a_Q — постоянная составляющая сигнала:

а_к — амплитуда k-Pi косинусоидальной составляющей сигнала: Ъ_к — амплитуда k-i синусоидальной составляющей сигнала:

Если воспользоватся формулой Эйлера то можно представить ряд Фурье в комплексной форме.

Комплексная амплитуда.

Ряд Фурье можно также представить в виде.

где Совокупность амплитуд гармонических составляющих Л_к носит название спектра амплитуд, <�р* — спектра фаз, С_к — комплексного спектра.

График амплитудного спектра периодического сигнала (например, знакопеременного прямоугольного напряжения, рис. 2.2, а) дискретен и гармоничен — спектральные составляющие (гармоники) находятся в кратных отношениях: 1, 3, 5… (рис. 2.2, б).

В спектре периодического сигнала не может быть гармоники с частотой ниже, чем основная (кроме постоянной составляющей, имеющей нулевую частоту).

Гармонические составляющие периодического процесса взаимонезависимы (ортогональны), что позволяет изменять и даже совсем удалять из спектра любые из них, при этом амплитуды и фазы оставшихся не изменяются. Это очень важно, ибо бесконечно широкий спектр, начинающийся от постоянного тока и кончающийся бесконечно высокими частотами, не может быть преобразован полностью, так как полоса пропускаемых частот у реальных электронных систем ограничена. При этом под шириной спектра обычно понимается область частот, в которой сосредоточена основная энергия сигнала. Во многих случаях большая часть энергии сигнала сосредоточена в области первых 10−20 гармоник.

В отдельные моменты времени гармоники сложного периодического сигнала могут складываться в одной фазе или быть в противофазе — возникают максимумы и минимумы.

Отношение максимального уровня сигнала к минимальному называется динамическим диапазоном сигнала и выражается в децибелах (дБ):

Помимо разложения периодического сигнала в ряд Фурье возможны и другие представления, ибо имеется множество ортогональных.

Рис. 2.2. Периодически изменяющееся напряжение прямоугольной формы (а) и график его амплитудного спектра (б).

функций — полиномы Лежандра, Якоби, Эрмита, Чебышева, функции Лягерра, Бесселя и т. д., которые обеспечивают быструю сходимость ряда, аппроксимирующего заданную функцию сигнала с необходимой точностью.

Под почти периодическим принято понимать сигнал с дискретным, но не гармоническим спектром. В этом случае соотношение частот отдельных составляющих нецелочисленное и может быть любым, в том числе и иррациональным. Например, сигнал в виде суммы, разности или произведения двух косинусоидальных (синусоидальных) колебаний разных частот будет почти периодическим.

Пусть имеется сигнал:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Это выражение можно представить как где Таким образом, в результате сложения двух гармонических колебаний различных частот получается одно колебание, амплитуда и фаза которого изменяются по времени с разностной частотой. Если отношение частот иррационально, то невозможно определить время Г, при котором бы точно выполнялось условие периодичности.

Если отношение частот нецелочисленно, но рационально, то можно найти некоторые целые числа т и п, при которых со, л? = о)₂т, а период результирующего колебания Т_г = пГ, = тТ₂.

При иррациональном отношении частот период может быть определен лишь приближенно.

Непериодический сигнал — частный случай периодического, у которого период бесконечно велик: Г—>(c)о. Внутри заданного промежутка времени сигнал может обладать периодичностью, например, состоять из конечного числа периодов гармоничного или сложного периодического колебания.

При этом спектральный анализ непериодического сигнала может быть проведен лишь в том случае, если математическая функция, аппроксимирующая сигнал, абсолютно интегрируема и имеет конечное число минимумов, максимумов и точек разрыва. Такого вида сигнал может быть представлен в виде интеграла Фурье. Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье достаточно корректно производится так:

В последнем выражении.

комплексная спектральная плотность амплитуды сигнала имеет размерность плотности, выражается в виде отношения единицы измерения амплитуды dX к единице измерения частоты */ш, т. е. 5(со) = dX/dw_y и называется прямым преобразованием Фурье сигнала X (t).

Обратное преобразование Фурье.

позволяет представить сигнал в виде интегральной суммы бесконечно малых гармонических составляющих.

Отличие интеграла Фурье от ряда Фурье заключается в том, что интеграл Фурье представляет непериодическую функцию бесконечной суммой периодических составляющих, т. е. спектр непериодического сигнала непрерывен и содержит все частоты от -(c)о до +(c)о. Отрицательная частота — математическая абстракция и появляется в выражении интеграла Фурье в результате комплексной формы записи. Если оперировать только положительными частотами, то каждой спектральной компоненте на частоте со будут соответствовать две функции: sincor и cosotf. Этого можно избежать, введя комплексную функцию ехр (;соГ), единственную для каждого значения частоты. Комплексная спектральная плотность непериодического сигнала.

Модуль комплексной спектральной плотности /1(со) принято называть амплитудным спектром сигнала, ср (со) — фазовым спектром.

В общем случае спектральная плотность сигнала определяется на интервале временио© < t < +(c)©. Однако реальные непериодические сигналы обычно задаются на некотором конечном промежутке времени t_x2 и, таким образом, спектральная плотность — не только функция частоты, но и времени.

Это позволяет говорить о спектральной плотности не вообще, а относить ее к определенному моменту существования сигнала. Так, если при определении спектра учитывается весь предшествующий временной интервал, говорят о текущей спектральной плотности сигнала («текущем спектре»). Если спектральная плотность определяется для малого участка сигнала, то вводится понятие мгновенной спектральной плотности («мгновенного спектра»).

Распределение энергии сигнала по спектру может быть выражено как.

где У (ю) — спектральная плотность мощности сигнала (энергетический спектр, спектр мощности).

Последнее выражение позволяет определять эффективную ширину спектра сигнала.

т. е. область, в которой сосредоточена основная энергия сигнала, —.

где со, и (о" — нижняя и верхняя граничные частоты спектра, при которых спектральная плотность весьма мала (или ниже некоторого заданного малого значения).

Ограничение спектра непериодического сигнала полосой от нижней частоты со, до верхней граничной частоты ш_и неизбежно приводит к искажению формы сигнала, а следовательно, к утрате некоторой части информации. Поэтому в каждом отдельном случае ширина спектра Дш должна определяться как с позиции передачи максимума энергии, так и с позиции допустимых искажений формы сигнала.

Реальные непериодические сигналы существуют в течение определенного промежутка времени от Г, до t₂. При этом не все участки сигнала равноценны: часто начальный или конечный (или оба вместе) участки переносят и малую энергию, и весьма несущественную информацию. Поэтому имеет смысл говорить об эффективной длительности сигнала:

Для непериодического процесса справедливо соотношение.

где А/ — эффективная ширина спектра; — эффективная длительность сигнала; к — постоянная, зависящая от формы сигнала, но в большинстве случаев близкая к единице.

Помимо ширины спектра и длительности непериодический сигнал характеризуется динамическим диапазоном, определяемым так же, как и в случае периодического сигнала.

Методы анализа сигналов, основанные на спектральном анализе Фурье, позволяют достаточно хорошо анализировать многие виды сигналов, особенно — близких по характеру к периодическим. Однако в ряде случаев преобразование Фурье не позволяет решать некоторые задачи анализа сигналов, поскольку для строгого преобразования требуется вся информация о изменении сигнала во времени, включая его поведение в прошлом и будущем. Поэтому если исследуемый сигнал не имеет четкого периодического характера, то эффективность преобразования Фурье в значительной мере снижается.

При исследовании явно непериодических сигналов, наиболее эффективным является использование не тригонометрических функций, а некоторых локализованных во времени функций-базисов, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию об изменении параметров аппроксимируемого сигнала и, таким образом, связывают особенности спектра и характер изменения сигнала во времени.

Эти базисные функции были названы вейвлетами. На основе такого подхода возникло новое направление в теории анализа сигналов, получившее название вейвлет-анализа, используя который сигнал можно анализировать одновременно во временном и в частотном пространствах.

Однако при практической реализации вейвлет-анализ требует большого объема вычислений, поскольку даже при обработке одномерного сигнала на выходе получается трехмерный массив данных, что требует применения ЭВМ, имеющих расширенные графические возможности.

При временном анализе непериодический сигнал представляется в виде суммы элементарных импульсов. Наиболее часто в качестве элементарных используются бесконечно короткие единичные импульсы (импульсы Дирака) и импульсы в форме единичной функции (функции включения, ступенчатой функции).

Единичная функция о (<) определяется как.

На рис. 2.3, а приводится графическое изображение единичной функции. Спектральная плотность единичной функции.

Сигнал можно представить в виде суммы запаздывающих на бесконечно малый промежуток времени dz единичных функций с бесконечно малой амплитудой (IX (рис. 2.3, б):

Факт запаздывания и-й единичной функции относительно первой на некоторое время аналитически отображается записью вида:

Поэтому каждая единичная функция с амплитудой dX может быть представлена в виде:

Это выражение дает возможность определить значение сигнала в любой момент времени Нели значение сигнала в нулевой момент времени не равно нулю, т. е. X (0) * 0, то

Полученное выражение носит название интеграла Дюамеля и широко применяется для анализа сигналов и характеристик различных систем.

Кроме разложения сигнала по единичным функциям, возможно разложение по единичным импульсам. Под единичным импульсом 8 (О понимается бесконечно короткий импульс с бесконечно большой амплитудой и площадью, равной единице. Спектр единичного импульса.

от частоты не зависит, поэтому амплитуды и фазы всех спектральных составляющих одинаковы, а ширина спектра безгранична — от нуля до бесконечности.

Непериодический сигнал может быть представлен в виде суммы единичных импульсов, запаздывающих на бесконечно малое время (рис. 2.3, в),

Рис. 2.3. Единичная функция (а), представление сигнала в виде суммы единичных функций (б) и единичных импульсов (в).

В принципе практически любой сигнал можно представить также с большой степенью точности с помощью единичных импульсов (или единичных функций), разделенных конечными промежутками времени At:

где X (kAt) — значение сигнала в момент времени kAt 5(t-kAt) — запаздывающие единичные импульсы, в момент существования которых отсчитываются значения сигнала.

В. А. Котельниковым доказано, что в общем случае сигнал с ограниченным спектром (в полосе частот от 0 до/_в) полностью определяется своими мгновенными значениями, отсчитанными через интервалы времени At < ½/" — верхняя граничная частота спектра сигнала.

Сигнал, разложенный в ряд Котельникова, можно представить в виде:

где у = 2я/_в (г — k At).

Теорема Котельникова имеет важное значение, на ее основе любой непрерывный сигнал может быть со сколь угодно высокой степенью точности преобразован в дискретный.

Контрольные вопросы

• 1. Почему в спектре периодического сигнала сложной формы могут быть лишь высокочастотные гармоники, отличающиеся по частоте в целое число раз от основной гармоники? Какой в этом физический смысл?
• 2. Нарисуйте как можно более точно график суммы двух синусоидальных напряжений с одинаковыми амплитудами, но с разными периодами, отличающимися, например, в 2/3 раза.
• 3. Определите (и нарисуйте) спектр: а) половины периода, б) одного периода и в) десяти периодов синусоидального напряжения.