Геометрические аберрации. 
Основы оптики. 
Теория изображения

С увеличением диаметров линз, с ростом апертурных углов возрастает погрешность параксиального приближения в расчёте хода лучей. Если учесть следующий, третий порядок, в разложении синуса.

то нарушается линейность закона преломления и связей углов с высотами, характерная для параксиальной области (см. разд. 2.3). Из формулы (2.1), заменяя синусы на соответствующие выражения (5.16), можно по аналогии с (2.4) показать, что стигматичность изображения при этом нарушается: положение точки пересечения луча с осью зависит от его угла наклона к оси, т. е. от его высоты на преломляющей поверхности. Аберрации, вызванные нелинейностью закона преломления, приближённого или точного, и нелинейностью связи высот и углов, называются геометрическими, или монохроматическими, аберрациями, поскольку они существуют и при монохроматическом освещении. Геометрические аберрации, соответствующие приближённому закону (5.16), называются аберрациями третьего порядка, или первичными аберрациями осесимметричной оптической системы как линзовой, так и зеркальной. В разъюстировапной системе возникают аберрации первого и второго порядка по углу.

Рассмотрим формирование аберрационного изображения осевой точки (рис. 5.6). Действительный луч пересекает ось в точке А', не совпадающей с осевой точкой параксиального изображения. Поперечная аберрация Ду' ~ ос'³ ~ tip? ~ /;'³ ~ hj?, где h', h_P, tip• — высоты луча на преломляющей поверхности, на входном и выходном зрачке соответственно. Продольная аберрация As' ~ Ду' / а' - hp?. Поскольку Ду', Дv' зависят только от tip', то все действительные лучи, пересекающие плоскость выходного зрачка по окружности радиуса tip', пересекутся на оси в одной точке А'. На рис. 5.7 показан ход лучей за положительной линзой, формирующей действительное изображение осевой точки (отклонения от параксиального изображения сильно преувеличены). Параксиальные лучи /, 2 сходятся в точке Aq. Средние лучи 3, 4, идущие на половине максимальной высоты, пересекают ось ближе к линзе, в точке Л{._р. Крайние лучи, проходящие на максимальной высоте, равной D'! 2, пересекают ось ещё ближе к линзе, в точке AL,.

Таким образом, продольная сферическая аберрация третьего порядка для всех лучей, проходящих через положительную линзу, отрицательна, причём максимальное значение аберраций для крайних лучей.

Asl_v~D'²~D².

Точки пересечения всех крайних лучей с плоскостью параксиального изображения образуют окружность радиусом Ду^_р — /з'³_ах ~.

~(?>'/2)³. Аналогично точки пересечения всех средних лучей образуют в плоскости параксиального изображения окружность радиусом Дг’р ~ /?^_ах ~([У / 2)³, в В раз меньшим, чем Ду_хр. Таким образом, аберрационным «изображением» точки является осесимметричное распределение интенсивности, заключённое в пределах кружка рассеяния радиусом Ду^ф. Аберрация, нарушающая гомоцентричность пучка при сохранении его симметрии относительно оси пучка, называется сферической аберрацией. Чем больше диаметр входного (выходного) зрачка или относительное отверстие системы D/ /', тем больше сферическая аберрация.

Рис. 5.6.

Рис. 5.7.

Если смещать плоскость наблюдения от плоскости параксиального изображения ближе к линзе, то радиус кружка рассеяния сначала уменьшается, затем снова возрастает. Таким образом, между Aq и А^_р

есть плоскость наименьшего кружка рассеяния. В целом аберрационным изображением точки на оси является распределение интенсивно;

сти с характерной длиной порядка As^ ~ D и радиусом р'_а$ ~ .

В отличие от дифракционного распределения интенсивности аберрационное несимметрично относительно плоскости параксиального изображения или плоскости наименьшего радиуса кружка рассеяния.

Рис. 5.8.

Рис. 5.9.

При одном и том же фокусном расстоянии линзы сферическая аберрация третьего порядка зависит от радиусов кривизны поверхностей линзы. На рис. 5.8 показана зависимость = Af' от формы положительной линзы, когда предмет в бесконечности. По оси абсцисс отложен угол а₂ наклона луча к оси в линзе. Качественное объяснение этой кривой таково: чем меньше углы падения и преломления на поверхностях линзы, т. е. меньше отступления от параксиальной области, тем меньше аберрации. В частности, сферическая аберрация плосковыпуклой линзы, обращённой выпуклостью к падающему параллельному пучку, близка к минимальной. Поэтому система из двух плосковыпуклых линз часто используется в конденсорах для передачи с минимальной аберрацией изображения точечного источника (рис. 5.9).

Продольная сферическая аберрация отрицательной линзы положительна. Это обстоятельство используют для взаимной компенсации сферической аберрации изображения осевой точки в системе положительной и отрицательной линз. В разд. 5.2 показано, что в такой системе можно скомпенсировать и хроматизм.

Поэтому двухлинзовую склейку можно назвать минимальной оптической системой, обеспечивающей хорошее качество изображения, по крайней мере, осевой точки.