Полуправильные замощения плоскости

Проведем классификацию всех топологически полуправильных замощений плоскости. Для этого опишем сначала все замощения, полуправильные относительно вершин, а затем при помощи отображения двойственности получим замощения, полуправильные относительно граней.

В отличие от правильных замощений, теперь могут присутствовать различные типы плиток (элементов замощения). Пусть в замощении встречаются к типов плиток. Предположим, что к каждой вершине графа замощения примыкает /л/ лу-угольных граней, m2 Л2-угольных граней, …, т_к щ-угольных граней. Ясно, что степень каждой вершины одинакова и равна т = т_] + т₂ +.Лт_к.

На каждом этапе замощения рассмотрим соответствующий конечный граф G (V, E, F) и введем следующие обозначения:

v'- количество вершин на границе внешней грани;

V] — количество вершин внутри замощенного участка;

v = v'+ V/ - общее количество вершин;

f — количество л,-угольных элементов замощения.

(плиток);

к

/=?/, +1 — общее количество граней.

/=1.

замощения (с учетом внешней грани);

<7 ,(Л)~ количество л,-угольных граней, примыкающих к некоторой вершине Л;

<7,(Л) = nij, если вершина Л графа лежит внутри замощенного участка. В этом случае.

О ,(Л) ^ т" если вершина А графа лежит на границе внешней грани. В этом случае.

Будем предполагать, что при увеличении замощенного участка плоскости будет выполняться равенство:

Тогда

Следовательно, mv, < 2е < mv, + ^ О (Л,) < mv, + mv',.

у'.

i=i.

или.

т е т т. v'

• — < lim— <�—+ —lim —. Используя предположение 2 v,-*~ у, 2 2 •>-*- v,
• (2.5.6), приходим к равенству:

С другой стороны,.

Но так как a ,(/1_у) - m, то m;v, < f_ln_l < m, v, + v’m,.

Переходя к пределу при v, —" получим:

или или.

Применяя формулу Эйлера для конечного графа G (V, E, F), можем записать:

Переходя к пределу при v, —> °° и учитывая (2.5.6) — (2.5.8), получим равенство, справедливое для графа любого замощения, полу правильного относительно вершин:

Замечание. Как и в случае правильных замощений, существует упрощенное «доказательство» равенства (2.5.9). Если пренебречь бесконечностью графа замощения, то можно записать:

Используя формулу Эйлера, получим:

или.

Вспоминая теперь, что количество вершин бесконечно, получим равенство (2.5.9).

Равенство (2.5.9) будет служить в дальнейшем основным инструментом для классификации всех возможных полуправильных замощений.

11 т, m_i

Так как и, > 3, то — < — и — < —Поэтому из и, 3 и, 3.

равенства (2.5.9) находим:

и т< 6. Таким образом, Следовательно,.

степень т каждой вершины замощения, полуправильного относительно вершин, не превосходит шести.

Исследуем отдельно все возможные случаи для т.

• 1. т=3. Ясно, что в этом случае может существовать не более трех различных типов плиток {к <3).
• 1.1. Пусть замощение содержит три типа плиток (к = 3), тогда /и, = т₂ — т_г = 1. Равенство (2.5.9) примет

вид: или.

^пп2^пз ~2(л₂и₃ ^+п]^пз +^пп2) = 0- Докажем, что числа и/, П2 и пз должны быть четными. Действительно, предположим, что, например, «/ - нечетное, и рассмотрим какую-то «/-угольную грань замощения (см рис. 150).

Рис. 150.

Так как к каждой вершине примыкает один «/-угольник,

ОДИН «2-угольник и один наугольник, то вокруг.

«/-угольной грани «2-угольные и «/-угольные грани должны примыкать поочередно. Но так как «/ - нечетно, то к какой-то вершине будет примыкать две однотипных грани. Мы можем обозначить и, = 2А, п₂ = 2к₂ и «з = 2 к₂. После этого получим следующее равенство:

Но к_] > 2 и к₇к_ъ>2(к₂к_г-к_г-к_ъ). Следовательно,.

к₂к₂-2к₂-2к₂ < О, или (к₂ — 2)(А₃ — 2) < 4. Без ограничения общности можно предположить, что.

/с, < к₂ < к_}. Но так как А, > 2 и все числа А, к₂, А, — натуральные, то возможно лишь следующие решение: А, — 2, к₂ = 3, А', = 6. Итак, «, = 4, и₂ = 6, /г₃ = 12. Соответствующее замощение плоскости представлено на рис. 151.

Замощение типа (4,6,12)

Рис. 151.

• 1.2. Пусть замощение содержит два типа плиток (к = 2). В этом случае /и, = 2, = 1 и равенство (2.5.9)
• 1 2 1

примет вид: — = — + —, или п.п₂ -4/г, -2″, = 0. 2 д, л₂

Заметим, что число п/ обязательно четное, так как вокруг «/-угольной грани /(/-угольная и //2-угольная грани должны чередоваться. Последнее равенство можно переписать в виде (л, -4)(л₂ -2) = 8. Так как л,*л₂ ^и эти числа натуральные (причем Л/ - четное), то возможны лишь.

п₂ = 4 или л, = 12, л₂=3. плоскости представлены на.

Замощение типа (12,12,3)

следующие решения: л, = 8, Соответствующие замощения рис. 152 и 153.

Замощение типа (8,8,4)

Рис. 152 Рис. 153

2. т=4. Докажем, что в этом случае замощение содержит не более трех типов плиток. Предположим противное, что существует 4 типа граней. Тогда т, = т₂ = /л₃ = лг₄ = 1. Без ограничения общности можно считать, что л, < л₂ < л₃ < л₄, т. е.

или.

Учитывая равенство (2.5.9), можем записать:

Полученное противоречие доказывает, что рассматриваемое замощение может содержать не более трех типов граней. Следовательно, необходимо рассмотреть лишь следующие случаи:

• 1. т, = 2, т₂ = т₃ = 1; 2. /я, = т₂ = 2; 3. /и, = 3, т₂ = 1.
• 2.1. лг, = 2, т₂ = т₃ = 1. Формула (2.5.9) примет
• 2 1 1 2п_гп_г

вид: 1 = — + — + —, или п. =-. Так как.

П и₂ и₃ п₇п_г-п₂-п₃

л, > 3, то 2л₂л₃ > Зи₂и₃ — Зи₂ — Зи₃. Последнее неравенство можно переписать в виде (и₂ — З)(и₃ — 3) < 9. Мы можем считать, что и₃ > л₂, поэтому возможны лишь следующие целочисленные решения:

л, = 4, л₂ = 3, л₃ = 6; либо л, = 3, л₂ = 4, л₃ =12. Каждому из этих решений соответствует два типа возможных конфигураций: (4,4,3,6) и (4,3,4,6), либо (3,3,4,12) и (3,4,3,12) (см. рис. 154).

Рис. 154.

Замощение типа (4,3,4,6)

Рис. 155

Конфигурации (4,3, 4,6) соответствует полуправильное замощение, изображенное на рис. 155.

• 2.2. w, =т₂ = 2. Формула (2.5.9) примет вид:
• 2 2
• 1 = — + —, или (и, — 2)(л₃ — 2) = 4. Возможно лишь и. п₂

следующее целочисленное решение при п₂ > и: и, = 3, п₂ =6. Этому решению соответствуют два типа возможных конфигураций (см. рис. 157).

Рис. 157.

Легко показать, что замощений типов (4,4,3,6), (3,3,4,12) и (3,4,3,12) не существует (идею доказательства можно увидеть на рис. 156).

Рис. 156.

^ruc— ^1D/ Рис. 158

Замощения типа (3,3,6,6) не существует (см. рис. 158), а конфигурации (3,6,3,6) соответствует полуправильное замощение, представленное на рис. 159.

Рис. 159 _J_J_J

2.3. /и, =3, т_г = 1. Формула (2.5.9) примет вид:

3 1 Зл₂ 3.

1 =—1—, или л, =-= 3 Н—. Возможно лишь л, л₂ л₂ -1 л₂ — 1.

решение л, =л₂ =4, которому соответствует правильное замощение из четырехугольников. Следовательно, этот случай не дает новых типов полуправильных замощений.

3. т = 5. Докажем, что в этом случае замощение содержит не более двух типов плиток. Пусть т = Л1[ + Л1₂ + Л!₃ + m₄ + m_s = 5. Предположим, что л, < л, < л, < п_л < п<, т. е.

Из равенства (2.5.9) следует:

8 m, + 3m,.

= 1+…? —?

• 60
• 1 8m, + 3m₂

Таким образом, — <-—-, или.

Из последнего неравенства имеем:

30 < 8 т, + 3m₂ — 3(т, + m₂) + 5 т, 3. С другой стороны, при т, = 3 из (2.5.10) следует, что т₂ >2.

Итак, возможны лишь следующие случаи: 1. т, =3, т₂ -2 и 2. т, =4, т₂ = 1. Т. е., в любом случае, существует только два типа граней.

• 3.1. т, =3, т₂ =2. Равенство (2.5.9) принимает
• 3 3 2 4″,

вид: — = — + —, или п₂ = —-—. Так как и, > 3, то.

2 и, и₂ 3(и, — 2).

приходим к неравенству 4и, > 9(и, — 2), следовательно,.

и, <�—. Но так как и, — целое, то и, 3. Поэтому и, = 3 и, следовательно,.

Итак, возможно единственное решение /г, = 3, и₂ = 4, которому соответствуют две возможные конфигурации (см. рис. 160). Соответствующие полуправильные замощения представлены на рис. 161,162.

Замощение типа (3,3,3,4,4)

Рис. 161.

Рис. 162.

• 3.2. w, =4, т₂ =1. Равенство (2.5.9) принимает
• 3 4 1 2л,

вид: — = — + —, или и, =——. Так как п, >3, то.

2 и, и₂ Зи, — 8.

приходим к неравенству 2и, > 9″, — 24, следовательно,.

и, < —. Но так как и, — целое, то л, 3. Поэтому л, = 3 и, следовательно,.

Итак, возможно единственное. решение и, = 3, и₂=6, которому соответствует полуправильное замощение, представленное на рис. 163.

4. т= 6. Докажем, что в этом случае замощение может содержать лишь один тип плиток (т.е. является правильным замощением плоскости). Действительно, пусть.

Рис. 163.

т = w, + щ +. ,+т₆ — 6. Предположим, что.

1111 11.

и, <�п₂ <…<�п_ь, тогда Из л, 3 п₂ 4 и₆ 8.

уравнения (2.5.9) находим:

Итак, т₂ = т₃ = т₄ = т₅ = т₆ = 0 и т_{ = т = 6. Таким образом, приходим к правильному замощению (из треугольников).

и т.

В силу вышесказанного можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 23. Существует ровно 8 типов замощений плоскости, полуправильных относительно вершин, которые не являются правильными. Это замощения типов: (4,6,12), (8,8,4), (12,12,3), (4,3,4,6), (3,6,3,6),

(3.3.3.4.4), (3,3,4,3,4), (3,3,3,3,6).

В силу принципа двойственности каждому из перечисленных замощений соответствует единственное замощение, полуправильное относительно граней (см. рис. 164−171). Поэтому, можно сформулировать теорему, двойственную теореме 23.

Теорема 24. Существует ровно 8 типов замощений плоскости, полуправильных относительно граней, которые не являются правильными. Это замощения типов: (4,6,12)',

• (8.8.4) ', (12,12,3)', (4,3,4,6)', (3,6,3,6)', (3,3,3,4,4)',
• (3.3.4.3.4) ', (3,3,3,3,6)'.

Замощение типа (4,6,12)

Замощение типа (8,8,4)

Рис. 164.

' Обозначение принято для замощений, полуправильных относительно граней.

Рис. 165

Рис. 166 Рис. 167

Замощение типа (3,6,3,6)' Замощение типа (3,3,3,4,4)'

Замощение типа (3,3,4,3,4)'.

Рис. 170 Рис. 171

Рис. 169

Замощение типа (3,3,3,3,6)"

Упражнение. Не используя соображения двойственности и рассуждая по аналогии с доказательством теоремы 23, докажите теорему 24.

Замечание. Мы не рассматривали замощения плоскости, содержащие двуугольные и одноугольные плитки. Если не исключать возможность существования таких плиток, то задача о классификации полуправильных замощений значительно усложняется. Пример замощения плоскости, полуправильного относительно вершин и содержащего двуугольные области, приведен на рис. 172. Это замощение типа (2,4,2,4,2,4,2,4).

Рис. 172 Рис. 173

На рис. 173 представлено замощение типа (2,4,2,4,2,4,2,4)* - полуправильное относительно граней.