Элементы финансовой математики для подготовки информации для оценки

Расчет стоимости предприятия (бизнеса), как и большинство экономических расчетов, основывается на вычислении процентов декурсивным или антисипативным (предварительным) способом и теории аннуитетов.

Способы расчета ставок процента

Декурсивный способ вычисления процентов.

Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) — это отношение суммы дохода, начисленного за определенный период, к сумме, имеющейся на начало данного периода. Он предусматривает вычисление простых и сложных ставок ссудных процентов.

1. Когда после начисления дохода за период этот доход выплачивается, а в следующий период процентный доход начисляется на первоначальную сумму, тогда используется формулы начисления простых ставок ссудных процентов.

Если ввести обозначения:

i (%) — годовая ставка ссудного процента (income); i — относительная величина годовой ставки процентов;

It — сумма процентных денег, выплачиваемых за период (год);

I — общая сумма процентных денег за весь период начисления;

Р — величина первоначальной денежной суммы (present value);

F — наращенная сумма (future value);

k_n — коэффициент наращения;

л — количество периодов начисления (лет);

d — продолжительность периода начисления в днях;

К — продолжительность года в днях (365 или 366 дней), то декурсивная процентная ставка (z).

Тогда:

Отсюда: F = Р (1 + in).

Тогда коэффициент наращения:

к_п =—.

Р d

Если интервал наращения меньше одного периода (года) п>р =—, то.

К

Определение величины наращенной суммы F (future value) называется компаундингом (compounding).

Пример

Депозит 25 000 руб. положен на 3 года по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение по формуле (3.10):

Пример

Депозит 25 000 руб. положен на 182 дня, год обыкновенный по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение по формуле (3.11):

Иногда возникает необходимость решить обратную задачу: определить величину первоначальной (текущей, приведенной) суммы Р (present value), зная какой должна быть наращенная сумма F (future value):

Определение величины первоначальной (текущей, приведенной) суммы Р (present value) называется дисконтированием (discounting).

Пример

Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо положить на депозит по простой ставке процентов 12% годовых.

Решение.

Преобразуя формулы 3.10—3.12, можно получить:

Процентные ставки в разные периоды могут изменяться.

Если в течение различных периодов начисления п_ь п₂,…, n_N используются различные ставки процентов i₂, …, i_N, N — общее количество периодов начисления, то сумма процентных денег в конце периодов начисления при ставке процентов.

где п₁ — количество периодов начисления при ставке процентов i_x; в конце периодов начисления при ставке процентов i₂

и т. д.

Тогда при N — периодах начисления наращенная сумма (N — номер последнего периода) при любом п_к> 1.

где коэффициент наращения

Пример

Депозит в размере 250 000 руб. положен на 2,5 года по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1,5%. Определить коэффициент наращения и наращенную сумму.

Решение по формуле (3.4.1):

по формуле (3.13):

Обратная задача:

Если n_k = 1, то.

где коэффициент наращения.

Пример.

Депозит в размере 250 000 руб. положен на 5 лет по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определить коэффициент наращения и наращенную сумму.

Решение по формуле (3.6.1): по формуле (3.6):

2. Когда после начисления дохода за период этот доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого периода (к сумме, создавшей этот доход), и в следующий период процентный доход начисляется на всю эту сумму, тогда в декурсивном способе используются формулы начисления сложных процентов.

Если к представленным обозначениям добавить: i_c — относительная величина годовой ставки сложных процентов; к_пс — коэффициент наращения в случае сложных процентов; j — номинальная ставка сложных ссудных процентов, по которой вычисляется поинтервальная ставка сложных ссудных процентов;

то за период начисления, равный году, наращенная сумма в соответствии с формулой (3.11) составит: за первый период (первый год).

за второй период (через год) через п лет.

где коэффициент наращения к_пс равен

Пример

Депозит 25 000 руб. положен на 3 года по сложной ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение по формуле (3.16):

Решая обратную задачу:

где а = — коэффициент дисконтирования.

Коэффициент дисконтирования — величина, обратная коэффициенту наращения:

Пример.

Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо вложить на депозит по сложной ставке процентов 12% годовых.

Решение.

Сравнивая коэффициенты наращения, при начислении простых и сложных процентов видно, что к_пс = (I + i_c)ⁿ > к_п = (I + п i) при п >

1. Чем больше периодов начисления, тем больше различие в величине наращенной суммы при начислении сложных и простых процентов. Можно определить другие параметры:

Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в двух видах:

• 1) к_пс = (I + i_c)ⁿ, где п > 1 — не кратное целому числу периодов начисления сложных процентов;
• 2) к_пс = (I + ?_С)"Ц • (? + d: К • Q,

где п = п_ц + d — общее количество периодов (лет) начисления, состоящее из целых и не целого периодов начисления;

п_ц — количество целых (полных) периодов (лет) начисления; d — количество дней нецелых (неполного) периода начисления;

К = 365 (366) — количество дней в году;

i_c — относительная величина годовой ставки сложных процентов. Оба варианта правомочны, но дают разные значения из-за разной точности вычисления.

Пример Депозит 25 000 руб. положен на 3 года 6 месяцев по сложной ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение.

• 1) F = 25 000 (1 + 0,12)³>⁵ = 25 000 • 1,4868 = 37 170 (руб.)
• 2) F = 25 000 (1 + 0,12)3 ц + (180: 365) 0,12) = 25 000 • 1,4049 • 1,0592 = = 37 201 (руб.)

Величина годовой ставки сложных процентов i₂, …, i_N может быть различной в течение различных периодов начисления п_ь п₂, n_N.

Тогда наращенная сумма в конце первого периода (года) начисления:

Во втором периоде (через год):

В N — периоде (за п периодов (лет):

Тогда коэффициент наращения:

Депозит в размере 250 000 руб. положен на 5 лет по сложной ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определить коэффициент наращения и наращенную сумму.

Решение.

По формуле (3.17.1): по формуле (3.17):

Обратная задача:

Если начисления сложных процентов производится поинтервально, т. е. несколько раз за период, то формула начисления за интервал:

где) = i — номинальная ставка сложных ссудных процентов; т — количество интервалов начисления в периоде (поквартально, ежемесячно и т. д.).

Доход за интервал присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.

Тогда наращенная сумма при поинтервальном начислении за каждый период через п периодов (лет) составит.

Кроме того, можно определить другие параметры:

Пример.

Депозит 25 000 руб. положен на п = 3 года по сложной ставке процентов 12% годовых, выплата по полугодиям (т = 2). Определить наращенную сумму.

Решение по формуле (3.19):

Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в виде.

или.

где п_ц — количество целых (полных) периодов (лет) начисления; р — количество целых (полных) интервалов начисления, но меньше общего количества интервалов в периоде, т. е. р < т; d — количество дней начисления, но меньше количества дней в интервале начисления. ^{* 1}

Депозит 25 000 руб. положен на п = 3 года 8 месяцев, 12 дней по сложной ставке процентов 12% годовых, выплата по полугодиям (т = 2). Определить наращенную сумму.

Решение по формуле (3.11):