Дисперсионный анализ. 
Биометрия

Биологические особенности животных зависят от многих внешних и внутренних факторов. Так, масса телят при рождении и в последующие периоды определяется наследственными особенностями их матерей и отцов, кормлением, содержанием, а также условиями эмбрионального развития. Этим обусловливается большое разнообразие животных по их физиологическим и морфологическим свойствам. Поэтому необходимо было разработать соответствующие математические методы, с помощью которых можно было бы установить влияние отдельных факторов и оценить их относительную роль в общей изменчивости этих свойств. Это, прежде всего, метод дисперсионного анализа, разработанный английским математиком и биологом Р. Фишером.

Сущность дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ является самостоятельным и важным разделом биологической статистики. С его помощью можно установить роль отдельных факторов в изменчивости того или иного признака, разложить общую изменчивость признака на составные части, обусловленные изучаемыми конкретными факторами (возраст родителей, крупность родителей, порода, уровень кормления и т. д.), а также вызываемый случайными, неконтролируемыми факторами (температура, свет и т. д.).

Таким образом, сущность дисперсионного анализа состоит в изучении статистического влияния одного или несколько факторов на результативный признак.

Результативный признак (например, величина удоя, плодовитость, крупноплодность поросят и т. д.), который изучается как результат влияния двух различных факторов:

• 1) организованных в исследованиях — разные породы, уровенькормления животных и т. д. (X);
• 2) неорганизованных, т. е. случайных, не учитываемых в исследованиях (Z).

В зоотехнии понятие «дисперсия» означает варьирование или изменчивость признака, возникающие под влиянием различных факторов, и обозначается через С. Дисперсия представляет сумму квадратов отклонений вариант от средней арифметической — С = ?(Х-Х) . При проведении дисперсионного анализа в той или иной группе животных используется общая дисперсия, под которой понимается изменчивость, вызываемая всеми одновременно действующими факторами.

Общая дисперсия признака (С_у) в изучаемой группе животных может быть разложена: на дисперсию, возникающую под влиянием различных учтенных, организованных факторов, называемую факториальной (С_х), и дисперсию, возникающую под влиянием различных случайных (неучтенных), неорганизованных факторов, называемую остаточной (С₂). При этом сумма факториальной и сумма остаточной дисперсий всегда равна величине общей дисперсии: С_у =C_X + C_Z.

При дисперсионном анализе вычисляют величину общей (С_у), факториальной (С_х) и остаточной (С₂) дисперсии. Если изменчивость возникает под влиянием нескольких факторов (возраста, живой массы, продолжительность плодоношения, кормления и т. д.) и требуется определить долю влияния каждого из этих учтенных факторов, то в таком случае факториальная дисперсия (С_х) может быть разделена на дисперсии каждого фактора раздельно (С_А, С_в, С_с) и совместную дисперсию.

При дисперсионном анализе обработке подвергаются выборочные данные, оформленные в статистические комплексы. Выборка может быть малои многочисленной. Статистические комплексы, в зависимости от того, сколько факторов включено в каждый, могут быть одно-, двух-, трехфакторными и с большим числом факторов.

Следует отметить, что трехфакторный и более дисперсионный анализ используют в практике довольно редко вследствие ненадежности получаемых оценок силы влияния. Кроме того, существуют некоторые обязательные условия организации многофакторных комплексов. Одно из них — полная независимость изучаемых факторов друг от друга — обычно трудновыполнимо.

Для получения достоверных данных дисперсионного анализа при построении дисперсионных комплексов (особенно двухи многофакторных) необходимо правильно выполнить следующие операции.

• 1. Подбор факторов. Фактор — это любое проявление признака, влияние которого требуется изучить на результативный признак (живая масса, плодовитость, крупноплодность и т. д.). При организации двухи многофакторных комплексов свободный выбор факторов для исследования ограничен требованием полной независимости их между собой, т. е. они должны быть не коррелирующими. Нельзя брать, например, массу и размер животного (обхват груди и масса животного), крупноплодность и размер помета. Независимыми между собой могут быть следующие факторы: пол животных и уровень кормления, порода животных и переваримость питательных веществ, температура и влажность помещения и т. п.
• 2. Разделение факторов на градации. Фактором может быть любое воздействие на изучаемые объекты, в частности на животных. Обычно приходится изучать разные степени действия фактора — разные его дозы, называемые градациями фактора. Например, при изучении наследственных влияний градациями фактора будут отдельные производители (или отдельные матки).

Для однофакторных, а также двухи многофакторных комплексов они могут иметь количественные (количество стимуляторов в граммах, уровень кормления +20% или -20% к норме и т. д.) и качественные градации (пол — мужской и женский; упитанность у свиней — жирная, мясная, беконная; масть — красно-пестрая, светло-палевая, темнопалевая и т. д.).

Группа животных, которая подвергается воздействию определенной градации фактора, образует градацию дисперсионного комплекса. Таким образом, число градаций комплекса соответствует числу градаций фактора.

3. Подбор особей. Результаты дисперсионного анализа во многом зависят от правильного подбора особей как по количеству, так и по качеству. Подобранные по качеству особи должны отражать генеральную совокупность, для изучения которой проводится исследование.

Предположим, что исследуется влияние использовавшихся в стаде быков-производителей на удой их дочерей. Может случиться так, что дочери одного быка оценены по удою только за превую лактацию, дочери другого быка — по удою за вторую и третью лактации, а дочери третьего — за третью, четвертую и пятую лактации. Если не обратить внимание на тот факт, что первотелки в среднем дают за лактацию молока меньше, чем коровы более старших возрастов (удои повышаются до пяти — восьми отелов), то в приведенном примере даже при абсолютной одинаковости быков-производителей по их наследственным качествам, обусловливающим молочную продуктивность, можно прийти к неправильным выводам, отдав предпочтение третьему быкупроизводителю (дочери которого будут иметь более высокий удой как старшие по возрасту).

Очевидно, что для выяснения влияния производителей на удои дочерей необходимо учитывать возраст телок. В данном примере сильное влияние на результат могут оказать и коровы-матери (дочери одного быка могут быть получены только от лучших матерей, а другого — от плохих или средних), а также условия кормления и содержания животных (если дочери сравниваемых производителей выращивались и продуцировали в разных условиях). Чтобы избежать наложения действия других факторов на действие изучаемых градаций фактора (производителей), следует дочерей разных быков от матерей примерно одинакового качества вырастить в одинаковых условиях.

Градации комплекса составляют таким образом, чтобы обеспечить случайность действия всех остальных факторов (кроме изучаемого), их неорганизованность, равновероятную направленность (рандомность) действия, что создаст фон, на котором можно выявить закономерность действия, организованного в градации фактора.

Градации комплекса — это выборки, сделанные из заведомо разных генеральных совокупностей, поэтому наиболее приемлемым принципом формирования градаций комплекса является принцип случайного отбора в них отдельных объектов из совокупностей. Нарушение этого принципа всегда приводит к неправильным выводам.

В тех случаях, когда не удается избежать систематического влияния на объект неизучаемого фактора (не удается рендомизировать его влияние), прибегают к двухфакторному дисперсионному анализу. Хотя второй фактор сам по себе может не интересовать исследователя, его влияние учитывают, чтобы выявить степень влияния изучаемого фактора. Влияние фактора оценивают по изменениям у животных отдельного признака, который называют результативным признаком.

• 4. Преобразование значений результативного признака. Для облегчения счетной работы можно неудобные значения результативного признака (многозначные, дробные) преобразовать в удобные (малозначные и выражаемые целыми числами).
• а) все значения признака можно умножить на одно и то же число: 0,30−100 = 30 или 0,45−100 = 45; в конечный результат необходимо внести поправки (разделить на 100).
• б) все значения признака по градациям можно разделить на одно и то же число (на 2, 3 или 4 и т. д.) и внести в конце соответствующие поправки, т. е. умножить на то число, на которое было произведено деление;
• в) от всех значений результативного признака можно отнять одно и тоже число (лучше вычитать наименьшее значение признака). Поправку в конечном результате при этом нужно вносить лишь для средней арифметической X, прибавляя к ней ранее вычтенное число.
• 5. Техника расчетов при дисперсионном анализе. Расчет дисперсионных комплексов проводится по официальным рабочим формулам. Однако техника расчетов для малых и больших групп различна. Для малых групп (выборок) дисперсии рассчитываются проще, для больших — несколько сложнее. Группа в 40—50 вариантов (многозначных показателей) уже считается большой.