Стационарные случайные процессы и корреляционные функции

В параграфе 5.1 мы определили случайный процесс как временную последовательность случайных значений. Другая точка зрения заключается в том, что процесс трактуется как множество сигналов, детерминированных функций времени, графически изображаемых некоторыми кривыми, причем каждой такой кривой соответствует одна из точек пространства выборок, на котором определена совместная плотность распределения случайных значений. Другими словами, каждый сигнал есть попарная совокупность скалярных величин {x (t, w), t}, причем t е Тим/ g Q.

Каждый сигнал, полученный таким образом, называется реализацией случайного процесса. Реализация, которую мы обозначим x_lv, есть вектор в пространстве функций времени, но не в пространстве случайных величин. При характеристике свойств случайных процессов обычно придерживаются первой точки зрения, рассматривая их как временную последовательность случайных значений. Однако в некоторых задачах полезно иметь в виду обе точки зрения.

Случайный процесс можно описать совместной плотностью вероятности некоторого множества его случайных значений. Многие из процессов с непрерывным временем обладают тем свойством, что плотности распределения инвариантны по отношению к сдвигам во времени.

Процесс называется стационарным в узком смысле, если.

где х_г— = x (tj); х₍ = x (t_t— + т) для любого т, причем здесь могут быть взяты любые значения {?;} из Т.

Более простым признаком стационарности является постоянство среднего значения во времени M[x (t)] = m_x(t) = const.

Автокорреляционная и автоковариационная функции

Независимо от того, стационарный процесс или нет, мы часто имеем дело со свойствами пар его случайных значений. В этих случаях удобно ввести статистики второго порядка. В частности, корреляция между всеми парами случайных значений часто служит подходящей характеристикой процесса. Эта корреляция зависит от моментов времени ?_х и t₂ и называется автокорреляционной функцией k^ty f₂) процесса х:

Автокорреляционная функция центрированного случайного процесса, получаемого при вычитании средних значений M[x (t)] = гп_х, называется автоковариационной функцией m^ity t₂) процесса х:

При т = 0 имеем t₁ = t₂ = t и получим k^t, t) — средний квадрат процесса и m^t, t) — его дисперсия. Заметим, что обе величины в общем случае зависят от времени.

Для стационарного процесса среднее значение не зависит от времени: m_x(t) = const, а автокорреляция зависит только от разности т = - t₂.

Если процесс стационарен, принято записывать автокорреляционную функцию как функцию одного аргумента т.

Таким образом, для стационарных процессов мы имеем

Если условие (5.4) выполняется, то говорят, что процесс стационарен в широком смысле. Из симметрии т) и неравенства Коши — Буняковского следует, что.

Представляется естественным, что автокорреляционная функция характеризует частотные свойства случайного процесса. Предположим, что х — стационарный в широком смысле процесс, и мы интересуемся средним квадратом его изменения за время т:

На рис. 5.1, а показаны типичные реализации быстро протекающих x (t) и медленно протекающих у (?) процессов. На рис. 5.1, б показаны их автокорреляционные функции, а на рис. 5.1, в — средний квадрат флуктуации (для быстро и медленно флуктуирующих процессов).

Рис. 5.1. Типичные реализации быстро и медленно протекающих процессов (а), их автокорреляционные функции (б) и средний квадрат отклонений (в) Если процесс быстро флуктуирует и содержит высокие частоты, то автокорреляционная функция будет быстро затухать с увеличением т. Автокорреляционная функция будет узкой.

Процесс с медленными флуктуациями, содержащий низкие частоты, характеризуется медленно меняющейся автокорреляционной функцией. Максимальное значение автокорреляционной функции равно значению дисперсии /с_хх(0) = M[x²(t)]- Если автокорреляционная функция уменьшается до величины меньше 0,5 от максимального значения, то говорят, что корреляционная связь отсутствует. Значение т_к, при котором к_хх(т_К) = 0,5/с_хх(0) называется интервалом корреляции. До этого значения корреляция между значениями процесса, сдвинутыми на интервал т, существует.

Отметим, что для периодических процессов автокорреляционная функция будет повторяться с тем же периодом, что и у процесса. Если имеются случайный процесс и закономерная периодическая составляющая, то автокорреляционная функция снижается до уровня, соответствующего автокорреляционной функции периодической составляющей, и далее периодически повторяется на этом уровне. Это позволяет выделять периодические процессы на фоне сильных шумов, что и используется в фильтрах-корреляторах.