Тенденции прогресса математики в XX веке

Во-первых, объем математических знаний колоссально вырос. По сравнению с предыдущим веком неизмеримо увеличился поток математической литературы: книг, журналов, сборников статей, научно-популярных и учебных изданий. Если раньше математики обменивались новой информацией в письмах, то в настоящее время общаются по электронной почте, на многочисленных международных и региональных математических конференциях, конгрессах, симпозиумах, семинарах. Отметим, что всего состоялось 26 Международных конгрессов математиков: первый — в Цюрихе в 1897 году, а последний — в Индии в 2010 году.

Во-вторых, получили мощное развитие дисциплины, находящиеся на стыке классических разделов математики: алгебраическая геометрия, алгебраическая топология, дифференциальная геометрия, топологическая алгебра, гомологическая алгебра, теория моделей и т. д.

В-третьих, математика стала абстрактной аксиоматической наукой. Обогатился ее предметный язык. Появились невиданной общности абстракции: категории, гомологии, пучки, схемы, топосы, супералгебры и суперпространства. Математики имеют возможность использовать в своих исследованиях совершенный язык и достижения математической логики.

В-четвертых, многие разделы математики развивались под влиянием 23-х проблем Гильберта, сформулированных им в докладе на II Международном математическом конгрессе, проходившем в Париже в августе 1900 года. Почти все проблемы Гильберта успешно решены, ряд из них — российскими математиками (четвертая, пятая, седьмая, десятая, тринадцатая).

В-пятых, в середине столетия появились компьютеры (ЭВМ), а вслед за ними и компьютерная математика [4, 43, 289, 390]. Компьютерная алгебра, вычислительная геометрия и т. п. — фундаментальное и весьма перспективное направление в развитии математики и ее приложений. Быстродействие компьютеров, дающее возможность в обозримое время производить автоматический перебор огромного числа случаев и громадные вычисления, позволило решить ряд трудных математических проблем. Достаточно вспомнить проблему Пуанкаре об алгебро-топологической характеризации сферы или проблему четырех красок. Только в 1967 году с помощью компьютера было получено следующее равенство, опровергающее одну теоретико-числовую гипотезу Эйлера:

Еще один пример. Более двух тысяч лет известна гипотеза о том, что любое натуральное число можно представить суммой не более 19 биквадратов (четвертых степеней) натуральных чисел. В 1925 году английские математики Годфри Харди и Джон Литлвуд доказали эту гипотезу для всех натуральных чисел, больших некоторого порогового числа п₀ Позднее методами аналитической теории чисел была получена оценка п₀ = 10³⁶⁷. Только в 1986 году группа математиков и программистов с помощью компьютера установила справедливость этой древнейшей гипотезы для всех натуральных чисел, не превосходящих п₀ Тем самым проблема была решена полностью. Рассмотренный подход называется методом супериндукции [218].

В-шестых, как никогда ранее математическое знание сильно дифференцировалось. Возникла масса отдельных математических дисциплин. Появилось великое множество узких специалистов. Одна только алгебра содержит десятки частей: теория групп, отдельно абелевы группы, кольца и модули, отдельно неассоциативные кольца, теория полей, теория полугрупп, теория решеток, теория полуколец, линейная алгебра, коммутативная алгебра, топологическая алгебра, универсальная алгебра, теория категорий, гомологическая алгебра, дифференциальная алгебра, компьютерная алгебра и т. д. При этом каждая из частей алгебры разбита еще на целый ряд разделов.

И все-таки следует провозгласить тезис о единстве математики. Отдельные математические дисциплины, являясь составными частями математики, зачастую связаны общими методами и языком (вспомним хотя бы теорию категорий). Бурно развивалась прикладная математика. Помимо того что математика стала мощным аппаратом в других науках (математика — язык науки), возникли совершенно новые фундаментальные математические теории прикладного характера. Это теория оптимального управления (в частности, принцип максимума Понтрягина), теория массового обслуживания, математическая теория игр, теория графов, исследование операций, математическая статистика, теории информации (кодирование, декодирование), различные численные методы (например, метод Монте-Карло), фракталы и многое другое. Они, как правило, возникали из нужд практики, при решении разнообразных задач, которые подбрасывает нам все усложняющаяся жизнь, но на базе классической математики. Можно сказать, что фундаментальная математика и прикладная математика, переливаясь друг в друга, снова представляют единую, но дифференцированную математику.

Роль человеческой практики

Нет сомнений в том, что математика в человеческом обществе зародилась как практическая необходимость в счете и измерениях. В результате длительной эволюции, наблюдений и приобретенного опыта сначала возникли «рабочие» правила и эмпирические умения, послужившие предпосылкой исходных математических предпонятий числа и геометрической фигуры. Так, наряду с натурфилософией появилась пранаука математика. Только в Древней Греции в школах Фалеса и Пифагора встала на ноги наука математика. Эмпирическая пранаука математика существовала задолго до этого в Китае, Индии, Вавилоне, Египте. Но именно появление и осознание возможности и необходимости логических рассуждений, дедукции, доказательств математических правил означало становление математики как науки.

Это внешняя сторона дела, но она убедительно показывает, что другой математики быть не могло (многообразие обозначений, систем счисления в разных странах несущественно). Закономерно не только единое содержание математики, но и вполне закономерен исторический путь ее развития (с небольшими нюансами на Востоке и Западе).

«Начала» Евклида — непреходящая истинная ценность во все последующие времена, первый образец настоящей науки. После Евклида математика на основе аристотелевской логики могла уже развиваться, исходя только из внутренних потребностей. Конечно, практика привносит новые задачи для математики, но для чистой науки это, в принципе, второстепенно.

Литература: [4, 5, 20, 22, 32, 33, 43, 46, 53, 65, 70, 71, 82, 104, 114, 145—148, 175, 184, 207, 234—237, 255, 258, 259, 269, 270, 275, 289, 319, 320, 329, 345, 346, 365, 380, 390, 393, 431, 432, 448, 452, 454, 469—472, 502, 512, 523, 526, 540, 591, 592, 628, 629, 636].