П. 5. Операционный метод

Для решения примеров данного раздела практикума будем руководствоваться теорией, изложенной в гл. 6.

Пример П. 76.

В цепи, изображенной на рис. П. 2, при t = 0 происходит коммутация. Требуется рассчитать ток через индуктивный элемент i_L(t) и напряжение на емкостном элементе u_c{t) как функции времени t при t > 0.

Решение. Мы видим, что до коммутации ток через индуктивный элемент равнялся нулю, а напряжение на емкостном элементе равнялось напряжению на резисторе /?₄, т. е. г₃Д =ЗВ. Пользуясь непрерывностью тока на индуктивном элементе и непрерывностью напряжения на емкостном элементе, мы можем утверждать, что.

Перечертим схему для t > 0, заменяя источник тока г₃ эквивалентным источником напряжения г₃Д₄ (рис. П. З).

Рис. П.2

Рис. П.З

Запишем систему дифференциальных уравнений:

Пусть i[(t) I[(s), u_c(t) i-4> U_c(.s). Используя теорему о дифференцировании оригинала, получим систему алгебраических уравнений.

или.

Таким образом,.

поэтому.

Пример П. 77.

Найдем решение задачи Коши х" + Ах = 3sin?, х (0) = 3, х?(0) = - 3. Решение. 11усть x (t) X (s), тогда получим следующее уравнение в изображениях:

отсюда находим Тогда.

откуда получаем систему

Из этой системы находим: В = 1, D = -4, А = 0, С = 3. Таким образом, Тогда x (t) = siiH + 3cos (2i) — 2sin (2?).

Пример П. 78.

или Найдем решение задачи Коши.

Решение. Пусть x (t) м> X (s), y (t) н-> Y (s), тогда система уравнений в изображениях имеет вид.

Решим систему алгебраических уравнений методом Крамера:

Тогда решение заданной системы имеет вид.

Пример П. 79.

Найдем решение задачи Коши.

Решение. Пусть x (t) t-> X (s), y (t) н" Y (s), z (t) н" Z (s), тогда система уравнений в изображениях имеет вид.

или Решение данной системы алгебраических уравнений найдем методом Крамера:

Следовательно, решение имеет вид Пример П. 80.

Найдем общее решение дифференциального уравнения.

Решение. Для нахождения общего решения рассмотрим задачу Коши для уравнения (П.36) с начальными условиями.

где С_ь С₂ — произвольные постоянные. Уравнение в изображениях, соответствующее задаче Коши (П.36) — (П.37), имеет вид или.

откуда находим.

Найдем оригинал последнего слагаемого в правой части равенства (П.38). Разложим это дробно-рациональное выражение на простейшие рациональные дроби:

Таким образом,.

Найдем теперь оригинал выражения (П.38):

Итак, получаем общее решение уравнения (П.36):

_гдеС;=^-А,.

² 3 27.