Методология математики. 
Философия математики

Высшее назначение математики — находить порядок в хаосе, который нас окружает.

Норберт Винер

Методология — это учение о методах познания, теория метода. Поэтому методологию естественно трактовать как ту часть теории познания, в которой рассматриваются общие способы исследования бытия и различные методики добывания знания. Методология есть научное мировоззрение, то есть мировоззрение осознанное и осмысленное человеком, структурированное в рамках тех или иных парадигм согласно определенным правилам.

Методология науки (науки в целом) относится к философии науки, занимается методами научного познания. Методология конкретной области науки должна учитывать (наряду с вопросами общей методологии, скажем, законами диалектики) специфику и характер данной науки.

Методология математики изучает структуру, архитектуру и ведущие принципы математики, выясняет ее природу и статус, анализирует математические факты, квалифицирует основные понятия и идеи математики, классифицирует математические методы, исследует вопросы возникновения, развития, организации и функционирования математического знания, рассматривает формы математической деятельности и специфику математического познания.

Основания математики

«Апории!?» — воскликнул он и бросился прочь.

Козьма Прутков

Любое строение имеет основание, фундамент. Фундамент сам на чем-то стоит, имеет определенную конструкцию и поддерживает все здание. Здание математики (или отдельной ее части) также может строиться на том или ином фундаменте, зависящем от почвы, на которой он зиждется. Этой почвой служат философские воззрения, математические достижения и приоритеты, культура, характеры людей, определяющих вместе с веяниями жизни и Богом пути развития математики соответствующей эпохи. С другой стороны, особенности конструкции фундамента оказывают огромное, если не решающее, влияние на продолжающее строиться здание математики, определяют направленность развития и изложения математики. Такой фундамент носит название оснований математики.

Первичной математической реальностью служат евклидова геометрия, натуральные числа и их дроби (отношения). Соответствующие простейшие факты и свойства являются той очевидностью, на которой базируется математика. В. Я. Перминов [412] называет такую очевидность аподиктической, отличая ее от интуиции как прозрения или схватывания истины. Для него очевидность есть определенное видение истины. Аподиктические очевидности не корректируются опытом, имеют внеэмпирический и внеисторический характер, представляя собой особого рода бесспорные реалии сознания.

Строгое обоснование натуральных чисел и евклидовой геометрии стало первой важнейшей задачей оснований математики. Аксиоматическое определение натурального ряда было осуществлено Дедекиндом и Пеано в 1889 году (см. Приложение I), а содержательная аксиоматизация евклидовой геометрии — Гильбертом [139] в 1899 году. В теории натурального ряда основополагающую роль играет аксиома математической индукции. Заметим, что различным подходам к построению теории натуральных чисел, в частности анализу форм математической индукции, посвящена статья^[1].

Основания математики — это важная часть самой математики, являющаяся ее обоснованием и надежной опорой. Основания математики теснейшим образом связаны с математической логикой. Математика всегда имела тот или иной фундамент, включающий осмысление основополагающих понятий. До XIX века не возникало сомнений в непротиворечивости математики. Так, геометрия Евклида была наукой о реальном пространстве. Ее аксиомы — очевидные истины о пространстве, дедуктивные выводы — неопровержимые факты. Пространство существует, значит, не противоречива и описывающая ее геометрия (реальное пространство есть модель геометрии). Из существования природы следует непротиворечивость описывающей ее математики.

Но открытие неевклидовых геометрий поколебало безмятежность математиков. Появилась необходимость в анализе основ геометрии. В 1899 году Гильберт публикует знаменитый труд «Основания геометрии», в котором евклидова геометрия изложена строго аксиоматически (устранены недостатки «Начал» Евклида), ее непротиворечивость сведена к непротиворечивости действительных чисел. Во второй половине XIX века была осуществлена перестройка основ математического анализа на базе строгой теории действительных чисел (арифметизация анализа). Кроме того, появились необычные алгебры, скажем, числа Кэли, двойные и дуальные числа. Все это способствовало зарождению оснований математики. Заметим, что Гильберт главными достижениями математики XIX века считал открытие неевклидовой геометрии и арифметизацию действительных чисел.

Нельзя обойти вниманием ошибочное утверждение Дойча [187] о том, что с появлением неевклидовых геометрий геометрия стала частью физики; как раз наоборот: до XIX века евклидова геометрия была единственной «физической» реальностью.

Как наука основания математики (о предпосылках сказано выше) появились на свет чуть более 100 лет назад. С одной стороны, это было связано с кризисом в математике, вызванным появлением логических парадоксов, или антиномий (Рассела — 1902 год, Кантора — 1899 год, БуралиФорти — 1897 год), и семантических парадоксов (Ришара — 1905 год, Греллинга — 1908 год, поздние версии парадокса лжеца). А с другой стороны, в это время успешно развивался формально-логический язык, т. е. существовали предпосылки разрешения кризисной ситуации.

• [1] Вечтомов Е. М. Натуральный ряд // Математика в высшем образовании. 2012.№ 10. С. 15—34.