Основные положения метафизики математики

Все исследуй, давая разуму первое место.

Пифагор

Суммируя сказанное выше, сформулируем следующие основные положения естественной фундаменталистской метафизики математики, проясняющие феномен математики.

1. Истоками математического познания служат раскрытые во втором параграфе гносеологические основания: априоризм, очевидность, логика, интуиция, опыт и деятельность, взятые в совокупности и взаимосвязи.

• 2. Объектом науки математики являются фундаментальные категории количества и формы и всевозможные их проявления, рассматриваемые в наиболее общем и чистом виде. Математика — наука о структуре сущего. В этом заключается суть и природа математики.
• 3. Предмет изучения математики — математические структуры и математические модели действительности или различных областей знания о мире. Это содержание математики.
• 4. Непосредственную математическую реальность составляют числа и геометрические фигуры, которые опосредуют последующие математические структуры как абстракции более высокого логического уровня. Пифагорейский тезис «Все есть натуральное число» сменяется метафорическим положением «Все есть форма». В математике форма часто предстает в виде формулы. Фарадей отмечал, что формулы умнее тех, кто их открыл.
• 5. Математика имеет свою внутреннюю онтологию, включающую наличную математическую реальность. Понятия и факты математики квазиэмпиричны. Для математика число пять никак не менее значимо, объективно и реалистично, чем пять пальцев на руке, а понятие прямой говорит больше, чем край линейки или отвес. Математика открывает, а не изобретает истины.
• 6. Дедукция возникла в недрах математики и верно служит ее универсальным методом. Она становится общенаучным способом научного познания. В рамках дедукции вызрели аксиоматический и гипотетикодедуктивный методы. На аксиоматическом языке излагается современная математика, а гипотетико-дедуктивный метод распространился далеко за ее пределы.
• 7. Логика — составная часть математики. Рациональной опорой мышления и базой дедукции служит классическая двузначная логика, достаточно адекватно отражающая логику бытия и обыкновенную человеческую логику. Все другие системы логики (интуиционистская, трехзначная, модальная, нечеткая и т. п.) формируются, развиваются и излагаются в рамках классической логики. Кроме аналитических истин математика имеет собственные синтетические суждения, как содержательные, так и формализованные, о форме, количестве, структуре.
• 8. Языком (формой) современной математики является математическая логика; по большей части это логика предикатов первого порядка (тезис Гильберта). Формальная логика допускает машинное воплощение и, тем самым, является теоретической базой работы компьютера и программирования.
• 9. Математика едина и единственна. По Гуссерлю, ангелы обладали бы другими методами вычисления, но вряд ли пришли бы к другим теоремам. Математические рассуждения надежны и достоверны. Математические истины непреходящи. Важнейшим признаком истинности в математике выступает непротиворечивая математическая деятельность человека, фиксируемая математическим сообществом.

Вспомним также следующие слова Д. Гильберта: «Единый характер математики обусловлен внутренним существом этой науки: ведь математика — основа всего точного естествознания».

• 10. Математическое моделирование являет собой основной прикладной метод исследования действительности. Понятие модели приобрело статус фундаментальной общенаучной и философской категории. Принцип математизации знания — ведущий в науке. Отметим, что математически окрашенная научная картина мира предполагает также принцип гармонии (целесообразности, красоты).
• 11. Статус математики, ее положение и роль в семействе наук заключается в следующем. Математика сама является самым точным языком и мощным универсальным инструментом науки в целом. Математика дает истинную методологию научного познания, беспристрастно опирающуюся на «осязаемые», внешние категории формы и количества; она не позволяет спекулировать якобы доподлинным знанием о содержании, качестве и сущности вещей. Математика — «царица наук», «особая статья», она не относится ни к естественным, ни к социально-гуманитарным, ни к техническим наукам. Она, подобно философии, «парит над миром». В любой претендующей на научность общей картине мира математика должна занимать ведущее положение. Следовательно, математика представляет собой автономную и самостоятельную форму научного познания.
• 12. Эффективность математики в приложениях, помимо того что диктуется ее объектом, предметом, методами и статусом, заключается также в характере математической истины. Математика дает истину условного, в отличие от законов классической логики как истины абсолютной. Теоремы имеют форму импликации А =" В, где А есть конъюнкция условий теоремы, а В — ее заключение. Теорема А => В тем сильнее, глубже и успешнее в применениях, чем логически слабее условия (допущения, посылки) А и сильнее заключение В. Как только в некоторой математической модели выполнены условия Л теоремы А => В, так сразу можно заключить, что в этой модели истинно и утверждение В. С удовольствием приведем изречение известного сатирика Хенрика Ягодзиньского: «„Если…, то…“ — если это не математика, то это шантаж».
• 13. Математика как мера научности. Знание научно в том и только в том случае, если оно выразимо на языке математики. Тем самым, к научному знанию применимы математические методы, оно допускает достаточно адекватное математическое моделирование.
• 14. Математика и точные науки. Математика — необходимый аппарат и общий метод точных наук. Она самодостаточна. Другие точные науки поставляют порой дополнительную пищу для математики, а иногда служат ее опытным полигоном. «Математика сама по себе давно не нуждается в естествознании и сама не претендует быть естествознанием» [213, с. 78]. Чем фундаментальнее естественная наука

• (такова, в первую очередь, физика), тем нужнее ей математика. Высказывание «Физика есть геометрия» (одна из возможных геометрий?!) гораздо ближе к истине, нежели обратное высказывание «Геометрия — это физика». У Евклида геометрия была физикой квазиэмпирически ощущаемого пространства — пространства, окружающего и поглощающего нас. Существование нескольких геометрий, в равной степени непротиворечивых и в то же время логически несовместных, показывает, что геометрия не может быть включена в физику. По Эйнштейну, «среди всех наук Математика пользуется особым уважением; основанием этому служит то единственное обстоятельство, что ее положения абсолютно верны и неоспоримы, в то время как положения других наук до известной степени спорны и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями».
• 15. Математика и искусство. Искусство и математика суть неотъемлемые составляющие культуры. Но математика и искусство образуют в паре принципиальную гносеологическую оппозицию. Математическое открытие и художественное творчество каждое по-своему раскрывает тайны бытия. Первое гораздо ближе к рассудку и логике, второе — к интуиции и образности. Результаты математического познания выражаются на строгом общезначимом языке формул. Художественное познание отображается средствами наглядных образов и символов живописи, музыки, архитектуры, поэзии и т. д. Художественное познание гораздо более многозначно, чем научное.
• 16. Тем не менее математика и искусство не разделены непроходимой стеной, имеют точки пересечения, влияют друг на друга. В этих общих точках взаимодействуют истина и красота, как, например, в явлении симметрии или в понятии золотого сечения. И тогда рождается гармония, означающая добро в человеческом измерении. Художественное произведение обладает своей структурой, которая так или иначе может быть схвачена математикой. Основополагающие математические идеи и факты прекрасны и для своего открытия и установления часто требуют незаурядной фантазии, тонкого воображения, художественного стиля мышления.
• 17. Математика и компьютер. Математика служит теоретической базой информатики и дает ей пищу. Компьютер становится мощнейшим методом математического познания — как в самой математике (исследование конечных объектов, супериндукция), так и в ее приложениях (представление математических моделей, вычисления в них). Компьютерные вычисления и компьютерная графика выполняют — применительно к математике — важнейшие эвристическую, проекционную, когнитивную и дидактическую функции.
• 18. Красота математики вытекает из ее природы. И заключается в фантастических свойствах чисел, в совершенстве геометрических фигур, в простоте плодотворных обобщений, в «скромном обаянии» законов логики, в четкости и мощи своих выразительных средств, в «тонкости чувств» — разборчивости методов, в широкой доступности (математического аппарата) и одновременно элитарности (духа математики).
• 19. Специфика математики включает в себя целый ряд характеристик: высочайший уровень абстрактности; максимальная доказательность и логичность; наибольшая истинность и критериальность; автономность, обособленность и независимость от других наук; универсальность; эффективность; необычайная красота фундаментальных понятий и результатов. Но главная ее особенность состоит в том, что математика есть наука обо всех возможных мирах.
• 20. Математику следует рассматривать как стержень подлинного образования, образования научного и мировоззренческого. Напомним, что исходный смысл термина «математика» в переводе с греческого языка означает «учусь через размышление». Точное знание, поставляемое математикой, гораздо менее других областей знания подвержено влиянию социума и временным переменам. В то же время математическое образование, как и всякое другое, естественным образом включено в культурологический процесс. Математика провозглашает главенство разума во всех общезначимых человеческих делах. Математика — самая честная и творческая из наук. Она воспитывает не только правдивость, критичность, самостоятельность, справедливость, благородство, трудолюбие и дисциплинированность, но и учит «свободному полету мысли», несмотря на заданность строгих логических правил. Как к учебной дисциплине к математике (школьной и вузовской) вполне применим социокультурный подход. И если подлинная философия науки математики носит фундаменталистский характер, то философия математического образования относится в равной степени и к социокультурной сфере.
• 21 .Дидактический аспект математики можно выразить словами Н. И. Лобачевского: «В математике важнее всего способ преподавания». В большой степени это означает приоритет методов исследования и изложения материала в математике перед фактами, так как именно методы позволяют устанавливать и обосновывать факты и выводить одни математические предположения из других, а хорошая методика обучения математике закрепляет эти знания и умения в сознании человека. «Истинная доступность курса математики, то есть истинная возможность его освоения, достигается не посредством его обеднения и опрощения, а напротив — достижением „критической массы“ его содержания и рождаемой ею возможностью осуществления многообразных форм поисково-исследовательской деятельности, „критической массы“ ее многомерности и многоуровневое™» [267, с. 83].
• 22. Развитие математики в человеческом обществе носит диалектический характер. Ограничимся словами А. Д. Александрова, которыми он завершает свою статью «Диалектика геометрии» [6]: «Наука, восходя к абстракциям и тем непосредственно удаляясь от действительности, обретает возможность проникать в нее глубже и разностороннее».

• 23. Исторический путь математики тесно связан с развитием двух главных линий математического познания — арифметико-алгебраической и геометрико-топологической. Эти линии постоянно пересекались и переплетались, порождая все новые интегрированные математические дисциплины (назовем тригонометрию, математический анализ, аналитическую и алгебраическую геометрию, геометрическую и топологическую алгебру, алгебраическую и дифференциальную топологию, аналитическую теорию чисел и т. д.). Новейшая классическая математика твердо и удобно расположилась на постаменте теории множеств. Параллельно шло совершенствование логических средств, математической символики и терминологии, что привело к созданию математической логики. Заметим, что историческое развитие математики заметно отличается от безупречной логической последовательности современного ее изложения, исторические этапы генезиса математики могут существенно отличаться от наведенного логического лоска. Однако общий исторический ход в математике и индивидуальный процесс математической деятельности неизменно приводят к одним и тем же фундаментальным результатам. О достижениях математики XX века рекомендуем читателю книгу «Проблемы Гильберта» [441] и статью В. М. Тихомирова «О некоторых особенностях математики XX века» [540].
• 24. Будущее математики видится в дальнейшем развитии классических направлений, в открытии и создании новых математических структур, конструкций и моделей. В ближайшие десятилетия теоретико-множественная математика останется современной классикой — вплоть до возникновения новейшего фундамента, некоей сверхструктуры (ни теория категорий, ни теория нечетких множеств, ни нестандартный анализ, ни фракталы не стали таким фундаментом). Математика продолжит свой величавый традиционный путь, поскольку объект и предмет математического познания в принципе неизменны. Но заметно, и будет еще ощутимее, смещение фокуса ее интересов в сторону дискретной математики, что вызвано быстро растущими возможностями компьютеров и расширением применений математики. Прогнозируется создание суперкомпьютера, а это необходимо связано с дальнейшим совершенствованием формального математического языка, обогащением его выразительного потенциала. Однако ядро непрерывной математики, континуум сохранят свое фундаментальное значение, потому что они служат надежной теоретической базой построений и приложений современной математики. Будут развиваться и новые разделы, связанные с такими синергетическими понятиями, как бифуркация, динамический хаос, фрактал. Некоторые прогнозы относительно будущего математики сделаны в работе А. Г. Барабашева «Будущее математики» [30] на основе анализа возможностей научного прогнозирования: внутриматематического, социокультурного, историко-математического.

Литература

: [в, 30, 98, 213, 267, 540].