Критерии оптимальности выбора решений

Мы рассмотрели способы формирования множества исходных вариантов, их предварительной оценки и способы сужения множества до множества недоминированных вариантов. Для выбора окончательного варианта необходима дополнительная информация о предпочтениях ЛПР среди недоминируемых вариантов и их характеристик. Для ответственных решений такая информация формируется в виде критерия, правила окончательного выбора варианта. При этом следует сразу же иметь в виду, что в настоящее время разработано значительное число различных правил и критериев принятия решений, обладающих различными достоинствами и недостатками, и выбор критерия, правила окончательного принятия решения определяется самим ЛПР. В некоторых областях деятельности, например в военном деле, общепринятыми являются определенные критерии выбора решения, такие, как вероятность поражения цели, объем наносимого ущерба противнику. Такие критерии признаются ЛПР и специалистами подходящими для планирования и оценки военных решений в течение длительного промежутка времени.

Однако в современной рыночной экономике абсолютизация какойлибо системы показателей и методов их расчета неприемлема для предпринимателей и менеджеров. Иначе говоря, следует иметь в виду, что, в общем случае, выбор критерия оптимальности является субъективным делом и не может быть определен как результат решения какойлибо математической задачи.

Если ЛПР применяет признанный и согласованный со всеми участниками решения некоторый критерий, то выбор осуществляется в соответствии с этим критерием. Однако часто ЛПР требуется информация о подходящем правиле или критерии выбора окончательного решения, особенно, если решение достаточно ответственное. На этом пути ЛПР могут подстерегать некоторые трудности, связанные с желанием учесть все характеристики вариантов решения, стремлением к достаточной простоте процедуры оценки и выбора оптимального варианта решения и неправильном понимании оптимальности варианта решения.

Рассмотрим ряд основных критериев оптимальности решения, их достоинства и недостатки и рекомендации по их применению. Будем сравнивать их по полноте оцениваемых характеристик, силе выбора, сложности расчетов и степени универсальности применения к выбору оптимального решения.

Критерий выбора оптимального варианта решения будем называть полным, если он допускает выбор решения по перечню характеристик, составленному на основе принципа многосторонней динамической полноты. Чем больше характеристик принимается во внимание при выборе решения из составленного таким образом полного перечня характеристик, тем более адекватным проблеме является критерий оптимального выбора.

Один критерий выбора будем называть более сильным, если он позволяет выбирать из некоторого множества вариантов меньше вариантов, чем другой критерий. Сложность расчетов по критерию оптимальности определяется сложностью структуры зависимости критерия от входящих в его состав характеристик.

Критерием оптимальности назовем правило выбора наилучших вариантов из некоторого множества вариантов. Критерием оптимальности можно пользоваться при выборе вариантов из исходного и любого множества, но важность множества Парето, выделяющего недоминируемые варианты, позволяет рекомендовать осуществлять выбор из множества Парето.

Правила главных характеристик.

1. Правило одной главной характеристики. Среди характеристик вариантов решения выбирается та, которая обладает наибольшим приоритетом. По остальным характеристикам решения назначаются требуемые ограничения, которые определяют допустимую область для принятия решения. Вариант по этому правилу называется оптимальным, если он соответствует наилучшему значению главной характеристики и удовлетворяет ограничениям на остальные характеристики.

Правило легко применимо для выбора вариантов, является простым для расчетов, но является самым слабым по силе выбора и обладает адекватностью, соответствующей величине приоритета главной характеристики.

• 2. Правило двух главных: характеристик. Главными называются характеристики вариантов решения, обладающие наибольшими величинами коэффициентов приоритета. Оптимальным по данному правилу называется вариант, у которого обе главные характеристики принимают наилучшие значения. Самыми приоритетными характеристиками являются характеристики затрат и некоторой эффективности решения. Обычно ЛПР стремится уменьшить затраты на решение и увеличить его эффективность. При этом снижать затраты на решение до нуля, естественно, нельзя. Поэтому по данному правилу возможны следующие формулировки критерия оптимального выбора:
  • — при заданных затратах на решение найти такой вариант, который обеспечиваем максимум эффективности решения;
  • — минимизировать затраты для достижения определенной эффективности решения.

По остальным характеристикам решения назначаются приемлемые для ЛПР ограничения. Правило несложно для расчета, довольно широко применяется для выбора вариантов решения, но является менее сильным и менее адекватным проблеме, чем любое из правил принятия решения по полному множеству характеристик. Это правило можно расширить на большее число наиболее важных характеристик решения.

• 3. Гарантированный уровень и паритет. Правило гарантированного уровни. Оптимальным по данному правилу называется такой вариант решения, который попадает в допустимую область решения. Напомним, что допустимая область определяется требуемыми ограничениями на характеристики решения. Правило является простым для расчета, так как при этом требуются только перебор, сортировка вариантов и ряд итераций. Правило является обычным для проектных решений, успешно применяется и представляет собой реализацию требований технического задания на разработку проекта.
• 4. Правило паритета. Правило паритета, то есть некоторого баланса приоритетов характеристик решения, разработано для непрерывного множества вариантов.

Поясним идею правила паритета с помощью следующего графика, на котором ось х_г соответствует первой характеристике х_ь а ось х₂ соответствует второй характеристике. Предположим, что варианты решения описываются только двумя характеристиками. Тогда непрерывное множество вариантов, то есть бесконечное число вариантов точек в прямоугольной системе координат — характеристик решения, есть просто плоскость. На этой плоскости из начала координат можно провести так называемую линию приоритета, которая при равных приоритетах характеристик решения представляет собой биссектрису прямого угла. При увеличении приоритета одной из характеристик наклон линии приоритета к соответствующей оси уменьшается, и линия приближается к оси координат (рис. 7.12). Паритет, то есть соотношение приоритетов характеристик решения между собой и соответствующих коэффициентов приоритета, определяет ЛПР. Вариант по правилу паритета называется оптимальным, если точка, соответствующая значениям его характеристик лежит на линии паритета.

Рис. 7.12. Линии приоритета характеристик

Если значения характеристик вариантов решения преобразованы в значения безразмерных и нормированных к 1 величин — логических функций требований p (x_f), то линия паритета проходит через начало координат пропорционально коэффициентам приоритета характеристик решения а, и уравнение линии паритета имеет вид:

Напомним, что переход от натуральных значений характеристик к безразмерным и нормированным к 1 значениям логических функций требований необходим для сравнения различных по смыслу и физическим размерностям характеристик. Переход x_t —> р (лг_г) позволяет сравнивать любые характеристики, в чем бы они не измерялись: в килограммах, метрах, рублях и т. п. После осуществления такого перехода все характеристики меняются от 0 до 1 и чем ближе к 1, тем предпочтительным является значение характеристики.

Правило паритета применимо для любого числа характеристик. Недостатком этого правила является условие непрерывности множества вариантов решения, так как в большинстве практических ситуаций число вариантов конечно, а, следовательно, множество значений характеристик дискретно. Правило паритета можно преобразовать в правило паритета для дискретного множества вариантов, которое называют правилом квазипаритета.

Будем полагать, что имеется конечное число вариантов решения, и точки, соответствующие значениям их характеристик, в общем случае, не лежат на линии паритета. Если рассмотреть возможные расстояния от точки, соответствующей варианту решения, то кратчайшим расстоянием до линии паритета будет перпендикуляр в пространстве соответствующих характеристик решения. На представленном ниже графике приоритет характеристик задан соответствующей линией паритета. Имеется 6 вариантов решения: Bl, В2, ВЗ, В4, В5, В6.

Если ЛПР стремится увеличить значения характеристик выбираемых вариантов, то множество доминирующих вариантов решения будет В2, ВЗ, В4. На рисунке 7.13 эти варианты выделены черным цветом.

Как видно из рисунка, вариантом, ближайшим к линии паритета, является ВЗ, который и является оптимальным при данных условиях. Отметим, что вариант В1 находится ближе к линии паритета, чем вариант В2, но В1 не является паретовским вариантом, он хуже В2 по значениям характеристики х₁ и характеристики х₂, как видно из рисунка.

Линия заданного приоритета характеристик и их расчеты по правилу квазипаритета довольно просты, правило позволяет учесть любые упорядоченные значения характеристик решения и обеспечивает однозначный выбор оптимального варианта при монотонных логических функциях решения цОс,).

Рис 7.13. Принцип квазипартитета

5. Правило максимума взвешенной суммы характеристик. Оптимальным по правилу взвешенной суммы назовем вариант, который обеспечивает среди других вариантов решения максимум суммы произведений коэффициентов приоритета характеристик a_t на логические функции требований ц (х,), то есть обеспечивает.

Величины произведений а_;ц (х₍) называют вкладами характеристик. Смысл такого критерия выбора оптимального варианта состоит в том, чтобы учесть вклады в общую сумму тех характеристик вариантов решения, которые приняты к рассмотрению ЛПР. Расчеты по данному правилу просты, принцип довольно широко применяется на практике в экономических и управленческих задачах. Выбор варианта решения по этому правилу обладает одним недостатком, который связан со структурой правила в виде суммы вкладов по каждой характеристики варианта и состоит в том, что маленькие вклады по важным характеристикам могут компенсироваться большими вкладами по характеристикам с малым приоритетом. В результате применения этого правила лучшим может оказаться вариант, обеспечивающий максимум суммы вкладов характеристик с низкими приоритетами, так как правило требует просто суммировать вклады характеристик.

6. Правило максимума взвешенного произведения. Вариант решения по данному правилу называется оптимальным, если среди всех имеющихся вариантов он обеспечивает максимум произведения коэффициентов приоритета характеристик a_t на логические функции требований p (Xj), то есть обеспечивает.

В этом выражении буквой П для сокращения записи обозначается произведение логических функций ц (х₍) в степени а_г. Такая форма критерия оптимальности обладает важной особенностью: если одна из величин ц (х_г) мала или равна нулю, то величина всего критерия также мала или равна нулю. Заметим, что при использовании критерия взвешенной суммы вклад каждой характеристики в общую сумму только увеличивает ее значение. Поэтому при использовании критерия взвешенного произведения говорят о его жесткости, так как он бракует любой вариант решения, который недостаточно удовлетворяет требованиям, предъявляемым ЛПР хотя бы по одной характеристике решения. Это свойство критерия взвешенной суммы формулируется в аксиомы выбора оптимальных решений.

Если значение какой-либо характеристики сравниваемого варианта решения не удовлетворяет требованиям задания, то и значение критерия взвешенного произведения тоже будет неудовлетворительным. Например, если значение какой-либо из р (х,) будет меньше 0,5, то есть хуже среднего значения соответствующей характеристики х, то значение критерия взвешенного произведения тоже будет меньше 0,5. Это правило несложно для расчетов, обеспечивает однозначный выбор при монотонных величинах логических функций и довольно широко применяется на практике.

Пример

Предположим, что ЛПР требуется выбрать номер в гостинице, соответствующий его требованиям по цене и уровню комфорта.

Предположим, предлагается варианты номеров в трех гостиницах, которые обозначим как Bl, В2 и ВЗ. Допустим, ЛПР интересует самый комфортабельный и недорогой номер. Предположим, что данные по характеристикам вариантов представлены следующей таблицей. Уровень комфорта обозначим по 10 балльной шкале от 1 до 10 — самый высокий уровень (табл. 7.4).

Таблица 7.4

Характеристики номера в гостинице.

Мы видим, что выбор противоречив и состоит в предпочтении значений по одной характеристике значениям других. Поэтому построим логические функции требований к характеристикам, которые отражают предпочтение ЛПР (рис. 7.14, а, б). Напомним, что логические функции ц (х,) могут меняться от 0 до 1 и чем ближе к 1 из значения, тем лучше, предпочтительнее для ЛПР будут и значения характеристики варианта решения. Пусть логические функции будут иметь следующий вид:

Рис. 7.14:

а) логическая функция требований к комфорту; б) логическая функция требований к цене номера.

Таблица 7.5

Характеристики и логические функции требований к ним.

Так как приоритеты у всех трех характеристик решения одинаковы, то выражение для расчета критерия выбора по правилу взвешенного произведения имеет вид:

И результаты произведения значений по данному выражению будут следующими:

Таким образом, лучшим оказывается вариант В2, который и рекомендуется для выбора.

7. Функция желательности. Обобщенная по всем п-характеристикам решения функция желательности D имеет вид:

Выражение представляет собой корень n-степени из произведений значений функции желательности по каждой характеристике, соответствует среднегеометрическому из значений функций желательности по каждой характеристике и обладает такой же «жесткостью» оценки, как и критерий взвешенного произведения. Достаточно одному значению функции желательности некоторой характеристики решения быть неудовлетворительным, как и обобщенное значение тоже будет неудовлетворительны, а если функция желательности какой-либо характеристики решения будет равна нулю, то и обобщенная функция желательности всего решения будет равна нулю.

Испытуемый в данном случае должен ответить на каждый вопрос, выбрав соответствующий ответ из заданных словесных оценок частоты: «всегда, почти никогда, иногда, редко, почти всегда» и далее по соответствию ступенчатой в данном случае функции желательности найти соответствующую числовую оценку функции желательности.

8. Правило «близости к идеалу». Идеалы всегда интересовали людей. Данное правило позволяет оценить степень близости вашего варианта решения к идеалу. Мы уже определили, что «идеалом» или «эталоном» называется не существующий в действительности вариант, составленный из лучших значений характеристик. Так как лучшим значениям характеристик соответствуют наибольшие значения логических функций ц (Х;), которые для сокращения записи обозначим как ц^-, где индекс i соответствует номеру характеристики, а индекс; соответствует номеру варианта. Тогда «идеальный» вариант можно записать как:

Оптимальным по правилу близости к идеалу называется вариант, у которого расстояние в пространстве координат: x_t — характеристик вариантов решения до идеала среди всех рассматриваемых вариантов минимально. Расстояние измеряется как корень квадратный из суммы квадратов разницы координат идеала и сравниваемого варианта. В процессе принятия решения координатами удобно считать логические функции характеристик сравниваемых вариантов. Тогда критерий близости к идеалу имеет вид:

Здесь расстояние от j-го варианта до идеала обозначено как А_;-,.

коэффициенты приоритета как а_ь логические функции идеала как р^^д, и сравниваемого варианта как Цу.

В качестве сравниваемых вариантов следует брать недоминируемые варианты. Расчеты по этому правилу довольно просты, правило позволяет учитывать любые количественные и формализованные качественные характеристики. Недостаток правила заключается в том, что ЛПР сам выбирает масштаб измерения диапазона характеристик и отображения их в логические функции, и, следовательно, при различных масштабах будут и различные расстояния до идеала. Поэтому, применяя правило близости идеалу, нужно обоснованно выбирать масштаб изменения значении характеристик решения. Для решения, которое описывается только двумя характеристиками, правило близости к идеалу можно представить графически.

Предположим, что множество недоминированных вариантов решения состоит из Bl, В2, ВЗ.

Идеальный вариант изображен на рис. 7.15 звездочкой.

Рис. 7.15. Оптимальный вариант по степени близости к идеалу

Мы видим, что из трех расстояний от вариантов Bl, В2, ВЗ, до идеала минимальным является расстояние от варианта В2. Поэтому вариант В2 признается оптимальным как самый близкий к идеальному варианту. Кроме рассмотренных здесь критериев оптимального выбора вариантов решения применяют и другие критерии: такие как правило гарантированного результата, функция желательности, последовательные уступки.

9. Правило стабильной оптимальности. Правило стабильной оптимальности устраняет недостатки выбора варианта решения по единственно определенному правилу. Стабильно оптимальным назовем такой вариант, который оптимален по наибольшему числу из существующих правил комплексной оптимальности.

Учитывая, что каждое из рассмотренных правил оптимальности обладает тем или иным недостатком, а также субъективность выбора того или иного правила оптимальности для принятия окончательного решения, целесообразно рассматривать достаточно полное множество существующих правил оптимальности как некоторое полное множество и равновероятных событий:

Если рассматриваемое решение удовлетворяет какому-то одному из правил оптимальности, то это будет означать, что это решение опти;

мально с вероятностью —.

W

Таким образом, если согласно правилу стабильной оптимальности решение удовлетворяет сразу нескольким правилам.

то такое решение можно считать более надежным, так как в соответствии с правилами статистики можно считать, что надежность решения будет самая большая при наибольшем числе правил оптимальности w.

Иначе говоря, такое обобщение правил выбора оптимальных вариантов позволяет утверждать, что применение правила стабильной оптимальности для выбора окончательного варианта решения повышает надежность выбора решений.