Алгоритм расчета горения газо-пороховой смеси в произвольной системе сообщающихся сосудов

В отличие от Алгоритма 1, изложенного в предыдущем пункте, алгоритм настоящего параграфа назовем Алгоритмом 2. Будем строить его исходя из требования, что на каждом шаге по времени система зерен, горящая в каждом сосуде, может быть заменена на эквивалентную ей систему, состоящую из заданного числа фракций М^. Пусть в данном сосуде в результате выгорания, истечения и затекания зерен топлива образовалась система зерен, состоящая из Mj фракций {iV_K}^_b {Z_K}^j, построенных в соответствии с Алгоритмом 1. Заменим эту систему на эквивалентную ей, состоящую из фракций {Z³}^. Условия эквивалентности для пиромеханизмов, состоящих только из сосудов, можно сформулировать исходя из уравнений (3.3)—(3.12), (3.37)—(3.41), потребовав, чтобы эквивалентная система зерен, сгорая в сосудах ТМС, обеспечивала те же значения внутрибаллистических параметров процесса, что и исходная. Для этого достаточно обеспечить следующие условия:

• 1) равенство газоприходов П и П^э от горения зерен исходной и эквивалентной систем;
• 2) равенство расходов газовой фазы П_а|, К) и Пд, Kj при наличии в сосуде исходной и эквивалентной систем зерен;
• 3) равенство расходов топлива и твердого остатка при истечении в смежные сосуды и каналы П" ;^э = П", К" '^э = К" , П^³ = П^, Kj'³ = Kj;
• 4) оттекающая из эквивалентной системы в смежный сосуд порция зерен должна в смежном сосуде обладать теми же свойствами, что и порция, оттекающая из исходной системы.

Условие 1 обеспечивается совпадением давлений в сосудах и равенством поверхностей горения исходной и эквивалентной систем зерен.

Условие 2 обеспечивается совпадением давлений в сосудах и равенством коэффициентов перекрытия (3.46) для исходной и эквивалентной систем зерен, для чего достаточно равенства суммарных объемов зерен и суммарных объемов зерен, способных вытекать из сосуда через данное отверстие:

Условие 3 равенства расходов топлива сведется к (3.52), в чем нетрудно убедиться, выражая скорость изменения числа зерен во фракции из (3.36), домножая на массу зерна и суммируя по всем фракциям сравниваемых систем.

Условие 3 для твердого остатка восполнится автоматически при выполнении условия 1 и допущении о том, что эквивалентная система содержит столько же зерен твердого остатка, что и исходная.

Для выполнения условия 4 достаточно обеспечить условия 1—3 для порций зерен, оттекающих в смежный сосуд S, из эквивалентной и исходной системы при догорании в смежном сосуде. Достаточные для этого условия аналогичны (3.50)—(3.52) при условии замены Nf, N_K на AN г, AN_K соответственно, где ANf, AN_K — количества зерен, оттекающих за шаг по времени в смежный сосуд S, из фракций эквивалентной и исходной систем. В аналоге (3.52) должны также фигурировать коэффициенты вытекания для отверстий смежного сосуда S,.

Введем на отрезке 0 < Z < 1 сетку {Z₍₎}j^'₀, Z₀ = 0, Z_Mfr = 1. Будем полагать, что для Z е (Z_p, Z_{p +} j] можно пренебречь изменением коэффициентов вытекания и полагать.

Эквивалентную систему зерен будем строить заменяя все фракции I исходной системы, составляющие порцию р с размерами Z/ е (Z_p, Z_{p + 1}], l — 1, …, Lp, на одну эквивалентную фракцию размером Z_p и числом зерен Np. Тогда для выполнения требований (3.50)—(3.52) и эквивалентных им требований, обеспечивающих условие 4, достаточно потребовать равенства площадей поверхности и объемов эквивалентных фракций таковым для заменяемой порции зерен:

где {iVldf'Pj, {21/}f?j — порция p исходной системы зерен.

Отметим, что условие (3.54) эквивалентно условию (3.56), а условие (3.56) эквивалентно условию (3.58). Действительно, полагая, что число зерен во фракции г в сосуде может быть нецелым, соотношения (3.39)—(3.40) можно записать в виде.

причем изменение величины D'_r для всех фракций г, попадающих в диапазон Z е (Z_p, Z_{p + 1}] не зависит от г в силу допущения (3.53) и уравнения (3.37), определяющего изменение AN^{l, m + 1} как функцию величин П_ш, У). Это означает, что для всех таких фракций г, включая «эквивалентную», D^l_r = D³ — одинаково. При этом соотношения (3.36)—(3.37) получаются из соотношений (3.38)—(3.39) домножением на эту величину D³, так как.

Возможен и обратный переход при делении на D³.

Таким образом, условия (3.54), (3.55) равенства площадей и объемов зерен эквивалентной фракции и зерен фракций исходной системы с размерами в диапазоне Z₍ е (Z_p, Z_{p + 1}] обеспечивают совпадение внутрибаллистических параметров в сосудах ТМС при замене на каждом шаге по времени исходных систем зерен на эквивалентные. Для определения числа зерен и размера зерен в эквивалентной фракции должны использоваться соотношения (3.54), (3.55). При этом размеры зерен эквивалентных фракций определятся из решения уравнений.

где В — отношение правой части из (3.55) к таковой из (3.54). Решение (З.бО)может быть проведено методом Ньютона. В качестве начального приближения можно взять средневзвешенное по числу зерен в порции р исходной системы значение Z. Число зерен Njj определится после этого из (3.54) или (3.55).

Изложенная методика построения эквивалентных систем зерен, состоящих из Mf_r фракций с размерами {Z_p}^_a и числом зерен {N³}^_v позволяет сформулировать Алгоритм 2 расчета горения полидисперсных смесей зерен в системах сообщающихся объемов. Для этого изложенный выше Алгоритм 1 должен быть дополнен этапом, на котором возникшие после выгорания, истечения и затекания зерен на каждом шаге по времени системы из ⁺¹ фракций зерен в сосудах заменяются на эквивалентные им системы из Му,. фракций. В таком виде Алгоритм 2 легко может быть применен не только к случаю догорания зерен пороха в сосуде, заполняемом из газогенератора с монодисперсным зарядом, но и к случаю горения первоначально однотипных зарядов в произвольной системе сообщающихся сосудов.

Особенности расчета процесса при использовании массовой скорости горения

При использовании массовой скорости горения U_M газоприход от горения определяется только значением U_M и массой (о₂ зерен пороха в сосуде и вычисляется по формуле (3.15). В этом случае нет необходимости определять распределение зерен пороха в данном сосуде по размерам, то есть рассчитывать фракционный состав N_r Z_r зерен пороха, горящих в данном сосуде и решать уравнение (3.12) для изменения относительной величины сгоревшей части свода зерна при горении. При этом, однако, необходимо описание обмена массой пороха между смежными сосудами, то есть задание расходов П" _; в уравнениях (3.7), расчет коэффициентов перекрытия отверстий зернами b_ai и работы Л₂₃, совершаемой газом при вытекании и затекании зерен в сосуд. При этом, очевидно, нет возможности учесть зависимость коэффициентов вытекания зерен ajот размера зерна, то есть от номера фракции г, что делает естественным допущение.

одинаковости коэффициентов вытекания для зерен пороха всех размеров. При дополнительном допущении о равенстве aj, и коэффициента вытекания а'_т для зерен твердого остатка соотношение (3.46) перепишется в виде.

где.

Умножая уравнение (3.37) на массу m_r зерна пороха фракции г, получим, что массовый расход фракции г через отверстие i составит.

Суммируя П_г по всем фракциям г, получим с учетом равенства коэффициентов вытекания для всех фракций пороха

Учитывая, что в единицу времени через площадь S_ai — F_ai = S_ai(1 — b_ai)

П^п П^т

протекает объем твердой фазы, равный —— Н——, получим скорость ее Рп Рт движения.

и кинетическую энергию, то есть работу Л₂з, совершаемую газом при выталкивании зерен из сосуда в смежный сосуд i через отверстие в единицу времени.

Полученные соотношения позволяют замкнуть систему уравнений (3.3)—(3.12) при расчете горения зерен пороха с использованием массовой скорости горения U_m.