Графики в экономической теории

Для глубокого уяснения взаимозависимостей в экономической теории часто используются двухмерные графики, которые наглядно показывают связь (взаимозависимость) между двумя группами экономических фактов, служат средством демонстрации этих связей и манипулирования ими. При построении графиков используются таблицы (шкалы).

Таблица 2.1

Зависимость между доходами населения и потреблением благ.

Для примера построим график (рис. 2.3), используя абстрактные данные зависимости между доходом (У) и потреблением © населения, отраженные в табл. 2.1. Из таблицы видно, что с ростом доходов растет потребление. При этом доход является определяющим фактором, независимой переменной, а потребление — зависимой переменной, зависящей от дохода. На горизонтальной оси графика размещаем независимые переменные (доход), а на вертикальной оси — зависимые переменные (потребление).

Рис. 2.3. График прямо пропорциональной зависимости между доходом и потреблением населения

На осях графиков важно выбрать четкие масштабы и так размещать соответствующие данные, чтобы наглядно представлялись области их изменения, а анализируемые их изменения удобно отражались графически. На нашем графике (см. рис. 2.3) область изменения величин (дохода и потребления) соответствует области изменения величин в табл. 2.1, а прирост величин на 100 руб. соответствует отрезку размером примерно в 1 см.

Так как график имеет два параметра, то каждой точке объема дохода соответствует конкретная точка объема потребления. Наши пять комбинаций «доход — потребление» наносятся на график (см. рис. 2.3) проведением перпендикуляров от соответствующих точек на вертикальной и горизонтальной осях. Например, точка е, образующая сочетание «доход (+400 руб.) — потребление (-250 руб.)», появилась в результате пересечения перпендикуляров от точки 250 руб. на горизонтальной оси и от точки 400 руб. на вертикальной оси. Аналогично образуются другие (а, Ъ, с, d.) точки, соединив которые, мы получаем прямую линию (которую также называют кривой), показывающую соотношение между потреблением и доходом.

Прямая восходящая ае означает прямую зависимость между доходом и потреблением. Прямая (положительная) зависимость означает, что две переменные изменяются в одном направлении: в нашем примере рост потребления вызывается ростом дохода, а уменьшение потребления — сокращением дохода. Если между двумя рядами данных существует прямая зависимость, то на графике они всегда выглядят восходящей линией.

Связь между рядами может быть и обратной (отрицательной).

Обратная зависимость между ценой билетов на футбольные матчи и числом их посетителей в нашем городе отражена в табл. 2.2, где переменные изменяются в противоположных направлениях: снижение цены билетов вызывает рост числа посетителей матчей и наоборот. Используя указанный выше метод и данные табл. 2.2, построим график (рис. 2.4), где проявляются точки а, b, с, d, е и/. При этом убеждаемся, что обратная связь всегда проявляется на графике в виде нисходящей (а/) линии.

Если соотношение между двумя рядами изображается прямой линией, то такое соотношение называется линейным.

Рис. 2.4. График обратно пропорциональной зависимости между ценами на билеты и числом посетителей матчей

Таблица 2.2

Зависимость между ценой билетов и числом посетителей матчей.

При этом трудно, но важно определить, какая из двух переменных является независимой (служит «причиной»), а какая является зависимой (служит «следствием»). Зависимая переменная выступает следствием (результатом) и изменяется из-за изменения независимой переменной, а независимая переменная воздействует на зависимые переменные. В наших примерах доход и цена билетов являются независимыми переменными, а потребление и число посетителей матчей — зависимыми.

В отличие от математиков, которые на графиках всегда размещают независимую переменную (причину) на горизонтальной оси, а зависимую переменную (следствие) — на вертикальной оси, экономисты размещают эти переменные произвольно. Например, связь «доход — потребление» экономисты наносят на график, так же как и математики, а данные о ценах и издержках — на вертикальной оси. Поэтому изображение экономистами на графике связи между ценами билетов бб и числом посетителей матчей не соответствует принятому у математиков правилу.

Составляя графики, экономисты используют допущение (ceteris paribus — «при прочих равных условиях»), т. е. не учитывают другие факторы, которые могут влиять на объем потребления при данном уровне дохода или на число посетителей при каждой возможной цене билета. Например, на рис. 2.3 предполагается, что все прочие факторы (кроме дохода), которые могут повлиять на объем потребления, не изменяются, а на рис. 2.4 неизменными считаются все факторы (кроме цены билета), которые могут повлиять на число посетителей. Но на практике «прочие условия» часто изменяются, поэтому изменяются и конкретные связи, представленные в наших таблицах и на графиках. Соответственно, линии на графиках смещаются, принимая новое положение.

Например, ожидая экономический кризис или безработицу, население обычно сокращает свое текущее потребление, поэтому на рис. 2.3 линия (кривая) ае, скорее всего, сдвинется вниз, что отразит меньший объем потребительских расходов при каждом уровне дохода. Связь между доходами и потреблением останется прямой, но линия сдвинется.

В другом случае, если футбольная команда нашего города проводит матчи на выезде, то их посещаемость может снизиться при любой цене билета и на рис. 2.4 линия а/, скорее всего, сдвинется вниз, что отразит меньшее число посетителей при каждом уровне цены билета.

Прямые характеризуются крутизной их наклона. Наклон прямой между двумя точками определяется отношением ее вертикального смещения (повышения или понижения) к горизонтальному смещению (шаг по оси), вызванным передвижением между двумя любыми точками прямой.

Угол наклона может быть положительным или отрицательным.

Двигаясь от точки b к точке с на рис. 2.3, мы увидим, что повышение (смещение по вертикали, изменение объема потребления) составляет + 50 руб., а шаг по абсциссе (горизонтальное смещение, изменение размера дохода) составляет +100 руб. Отсюда:

В нашем примере наклон в ½ (или 0,5) является положительным, так как потребление и доход изменяются в одном направлении, т. е. между потреблением и доходом существует прямая (положительная) связь. Наклон, равный 0,5, указывает на то, что любой прирост дохода на 2 руб. сопровождается ростом потребления на 1 руб., а каждое снижение дохода на 2 руб. приводит к сокращению потребления на 1 руб.

А на рис. 2.4 связь между двумя зависимыми переменными, например между точками end, показывает: вертикальное смещение (снижение) равно -5, а горизонтальное смещение (рост) равно +4. Отсюда:

Наклон этой кривой является отрицательным, так как между ценой билета и посещаемостью матчей существует обратная зависимость.

На абсциссе (см. рис. 2.4) размещены данные в тыс. человек, поэтому наклон -1,25 означает, что снижение цены билета на 5 руб. увеличивает число посетителей на 4 тыс. человек. Другими словами, снижение цены билета на 1,25 руб. увеличивает посещаемость матча на 1 тыс. человек.

Наклон прямой (или кривой) зависит от выбора единицы измерения переменных (этот показатель особенно важен в экономической теории, так как он отражает маржиналистские предельные изменения). Если измерять посещаемость матчей числом человек, то горизонтальное изменение составит 4 тыс., а наклон будет равен 1,125:

Возможны также бесконечные и нулевые наклоны кривых. Многие переменные никак не связаны между собой или не зависят друг от друга. Если изменится цена на киви, то это вряд ли повлияет на изменение спроса на автомобили. На рис. 2.5, где цена киви отражена на вертикальной оси, а спрос на автомобили — на абсциссе, видно, что отсутствие взаимозависимости между ними выражается линией, параллельной вертикальной оси, указывающей на то, что изменение цены киви не влияет на покупку автомобилей. Наклон такой прямой становится бесконечным.

Совокупное потребление также не связано с числом разводов, поэтому на рис. 2.6, где потребление отражено на оси ординат, а число разводов — на абсциссе, видно, что отсутствие между ними связи представлено прямой, параллельной абсциссе. Наклон этой прямой является нулевым.

Рис. 2.5. Бесконечный наклон

Рис. 2.6. Нулевой наклон.

Важной информацией для определения положения прямой на графике (кроме наклона) являются координаты точки ее пересечения с осью ординат. Точка пересечения прямой линии с осью ординат — это точка, в которой прямая пересекает вертикальную ось. На рис. 2.3 точка пересечения соответствует 50 руб. Это означает то, что если бы текущий доход оказался нулевым, потребители все равно потратили бы 50 руб., взяв деньги в долг или продав часть своих активов. И на рис. 2.4 точка пересечения с вертикальной осью также показывает, что при цене в 25 руб. за билет футбольная команда будет играть в отсутствие болельщиков.

Если известны точка пересечения и наклон прямой, можно описать кривую с помощью следующего линейного уравнения:

где у — зависимая переменная; а — точка пересечения с осью ординат; Ъ — наклон прямой; х — независимая переменная.

Если в нашем примере соотношения «доход — потребление» обозначить потребление (зависимую переменную) знаком С, а доход (независимую переменную) — знаком Y, то уравнение примет следующий вид:

Подставляя конкретные значения точки пересечения с осью ординат (50) и наклона прямой (0,5У), мы получим следующее уравнение:

Это уравнение позволяет определить объем потребления С при любом доходе Y: при доходе в 250 руб. объем потребления составит 175 руб.

В случае если экономисты (в отличие от математиков) помещают независимые переменные на оси ординат, а зависимые — на абсциссе, то обычное линейное уравнение решается относительно независимой переменной, а не относительно зависимой. Это условие относится к нашему примеру с ценами билетов и посещаемостью матчей. Если цену билетов (независимую переменную) обозначить символом Р, а посещаемость (зависимую переменную) — символом Q, то уравнение примет следующий вид:

где пересечение находится в точке 25, а отрицательный наклон равен.

— 1-^- (или -1,25). Однако, зная величину Р, можно решить уравнение для посещаемости (Q), которая фактически является зависимой переменной.

Кроме линейных (прямых) связей, когда наклон прямой является одинаковым на протяжении всей этой линии, часто встречаются нелинейные связи (соотношения), когда наклон линии изменяется по мере продвижения от одной точки к другой. Такие линии называют кривыми.

На рис. 2.7 видно, что нисходящая линия DD имеет постоянно изменяющийся отрицательный наклон. Это не позволяет измерить наклон всей кривой. Такой наклон можно измерить только в определенной точке кривой. Для этого надо провести прямую (аа, bb на рис. 2.7 или любую другую) касательную линию, которая должна коснуться кривой DD (не пересекая ее) в точке, по которой измеряется угол наклона.

В нашем примере (см. рис. 2.7) прямая аа касается кривой DD в точке А, что дает возможность измерить наклон кривой DD в этой точке путем измерения наклона касательной аа. На графике видно, что вертикальное смещение (падение) для прямой аа составляет -20, а горизонтальное смещение (шаг) равно +5. Таким образом, наклон касательной аа равен -20/+5, т. е. -4, следовательно, наклон кривой DD в точке А тоже равен -4.

Рис. 2.7. Определение наклона кривых

На рис. 2.7 видно, что отрицательный угол наклона прямой bb, которая касается кривой DD в точке В, меньше. И расчеты показывают, что этот угол наклона равен: -5/+15, т. е. -1/3.