Алгоритм максимизации ожидания максимального правдоподобия

Метод максимизации математического ожидания максимального правдоподобия (англ, maximum likelihood expectation maximization (MLEM)), или метод максимального правдоподобия (МП), является численным методом определения оценки максимального правдоподобия. Алгоритм MLEM, начиная с его первого применения в области реконструкции изображений в 1982 г. [27], остается основой для наиболее популярного статистического метода реконструкции изображений и является фундаментом для многих других методов.

Приложение алгоритма MLEM к реконструкции изображений в ПЭТ приводит к простому итерационному уравнению.

где /|^п+1) — следующая оценка вокселя ;, основанная на текущей оценке.

/00.

Опишем этот алгоритм более подробно с помощью рис. 6.27. Итерационный процесс начинается с «угадывания» начального приближения к изображению /⁽⁰⁾, показанного в верхнем левом углу рисунка и присутствующего как знаменатель в уравнении (6.22). За начальное приближение обычно берется равномерное распределение источников эмиссии по всему объему. Первый шаг (1) заключается в прямом проецировании этого изображения в пространство проекций. Затем (2) эти проекции сравниваются с измеренными проекциями р и формируется мультипликативный корректирующий фактор для каждой проекции. Далее (3) данный фактор проецируется обратно в пространство изображения с целью определения корректирующего фактора для начальной оценки изображения. В пространстве изображения этот корректирующий фактор умножается (4) на текущую оценку изображения и делится на весовой член, основанный на модели системы, чтобы учесть желательную мощность каждого фактора коррекции изображения. Полученная таким образом новая оценка изображения снова вводится в алгоритм как следующее приближение, и весь процесс повторяется до достижения решения максимального правдоподобия.

Рис. 6.27. Диаграмма MLEM алгоритма. Начало с позиции первоначального угадывания (Я⁰⁾), алгоритм итеративно выбирает новую оценку изображения, основанную на измеренных проекциях р [12].

В процессе работы алгоритма после нескольких первых итераций в создаваемом изображении появляется низкочастотная компонента. При приближении к решению максимального правдоподобия в реконструируемом изображении появляется все больше высокочастотных проявлений, что существенно увеличивает вариацию в реконструкции. Как отмечалось выше, эту вариацию часто уменьшают (ценой увеличивающегося смещения), применяя раннюю остановку алгоритма или пост-сглаживание реконструкции. Сходимость алгоритма MLEM зависит от изображения, но на практике обычно для достижения решения требуется от 20 до 50 итераций. Так как MLEM требует на каждой итерации одного прямого и одного обратного проецирования, то общее время процессинга значительно больше, чем для метода фильтрованных обратных проекций. Однако алгоритм MLEM позволяет получать более точную реконструкцию.