Решение задачи — конструирование решения

Конструктивистский взгляд на мыслительные процессы с легкой руки Ж. Пиаже весьма популярен среди исследователей онтогенетического развития психики.

Сам Пиаже (1969) разработал известную теорию, в соответствии с которой индивидуальное развитие интеллекта проходит обязательные стадии. На каждой из них по определенной логике конструируются новые психологические структуры, закладывающие основание для дальнейшего развития и усложнения интеллекта.

В области психологии решения задач и проблем конструктивистских теорий в чистом виде так и не появилось. Однако эти идеи играют важную роль в сложных комплексных моделях.

Рассмотрим процессы конструирования решения на примере одной из таких теорий. Она была предложена автором этой книги [В. Ф. Спиридонов, 2003; 2004] для объяснения процесса решения алгебраических задач. Воспользуемся еще одной удобной метафорой, которая позволит четче высветить сущность механизмов решения в данном случае. Метафора «карты и территории» была предложена А. Кожибским и широко использована Г. Бейтсоном (2000) для описания разноплановой психологической реальности (в первую очередь, процессов коммуникации). Территория сложена из объектов, которые обладают собственной «плотностью» и «оказывают сопротивление». Их нельзя просто игнорировать или изменить по собственному произволу, поэтому приходится учитывать их свойства в своих планах и действиях. Карта является знаковой системой, которая каким-то образом описывает и представляет территорию, выступающую референтом, т. е. набор явлений и связей между ними. Таким образом, отношение карты к территории является референцией^[1].

Карту надо уметь создавать. Существуют определенные правила «картирования»: она не может быть целиком произвольной — в таком случае она перестанет быть картой и превратится в индивидуальный шифр. (Для процесса решения задачи это путь в тупик). Хотя карта и территория тесно связаны между собой, они — принципиально разнородные явления. Карта условна, изменения на ней не влияют на территорию, она может быть неверной в целом или содержать локальные ошибки, ею надо уметь пользоваться, поскольку она включает условные обозначения. Одной и той же территории могут соответствовать разные карты, причем их может быть достаточно много. Карты могут отличаться друг от друга степенью своей детализированности («масштабом»). Более мелкие объекты встроены в более крупные и исчезают или появляются на карте при изменении масштаба рассмотрения. Принципиально важно не путать карту и территорию, поскольку их смешение может привести к серьезным затруднениям.

Используем эту метафору по отношению к процессу решения задач. Для простоты мы ограничимся обсуждением только текстовых задач по алгебре^[2]. Они относятся к хорошо определенным, закрытым, неинсайтным проблемным ситуациям. В разделе о классификации задач они были названы регулярными (см. подп. 1.3.2).

Начнем с того, что к текстовой задаче нельзя относиться как к повествовательному тексту, просто описывающему какую-то реальную ситуацию. Такая задача — целиком условна: поезда в ней движутся строго равномерно и прямолинейно, лыжники не устают, пробегая десятки километров, рабочие никогда не выпускают брак, вода в трубах не кончается и т. д. Причем какие-то значимые условия или ограничения указаны прямо, а о других приходится догадываться по ходу дела (например, о том, что объем работы можно взять за единицу). Более того, «правила игры» таковы, что проверять задачу на «правильность» (решаемость, непротиворечивость, полноту условий и т. д.) не требуется.

Необходимым условием решения текстовой задачи выступает процесс референции, с помощью которого решатель на основании условий задачи должен выделить значимые объекты и отношения между ними и построить соответствующую карту. Назовем этот процесс референцией-1, а его результат — картой-1. Возможно, существуют регулярные задачи, которые решаются посредством карты-1. Однако чаще всего ее недостаточно для решения. Чтобы справиться с большинством текстовых задач по алгебре, необходимо провести еще одно картирование: отталкиваясь от карты-1, произвести референцию-2 и построить карту-2 (рис. 3.2). В более привычных терминах можно сказать, что на основании текста задачи у решателя появляется ее репрезентация. Однако в отличие от обычного случая подобная репрезентация не строится автоматически.

Рис. 3.2. Организация процесса решения текстовой задачи.

Референция-1 и референция-2 кардинальным образом отличаются друг от друга. Карта-1 строится средствами естественного языка. Опираясь на текст задачи, решатель должен обнаружить и зафиксировать значимые компоненты: например, какие количественные показатели присутствуют в условии, как они связаны между собой, что нужно узнать, опираясь на них, и т. п. При этом для разных карт эти компоненты могут не совпадать. Референция-2 — значительно более строгий и последовательный процесс. Он приводит не просто к появлению новых значений у ключевых явлений задачи (так же работает и референция-1), но и к тому, что эти значения получают четкие определения. При этом они оказываются заданными в рамках какой-то единой системы и таким образом связанными друг с другом. Это обеспечивает решателя дополнительными ориентирами для дальнейшего движения: складывающаяся система все строже и последовательнее «подсказывает» возможные способы действия, помогая различать осмысленные и ошибочные шаги. Однако жесткости этой новой конструкции (особенно на ранних стадиях процесса решения), конечно же, недостаточно, чтобы вообще избежать ошибок.

Особенно заметным этот процесс становится в силу использования второй знаковой системы, отличной от естественного языка — системы алгебраических обозначений. Решатель извлекает из карты-1 определенное содержание и фиксирует его с помощью алгебраической записи. Скажем, для задачи: «На протяжении 155 м уложено 25 труб длиной по 5 и 8 м. Сколько тех и других труб уложено?» — она может выглядеть следующим образом: пусть х — количество 5-метровых труб, тогда (25 — х) — количество 8-метровых, 5х — общая длина 5-метровых труб, 8 (25 — х) — общая длина 8-метровых, и т. д. В менее явных, но принципиально аналогичных случаях извлечение содержания из карты-1 совершается без привлечения второй знаковой системы. Сложность референции для решателя, помимо всего прочего, заключается в том, что обе карты строятся в ходе решения параллельно.

Таким образом, процесс решения текстовой алгебраической задачи, т. е. создания карты-2, устроен как построение вторичной моделирующей системы (термин Б. А. Успенского). Ее закономерности и выступают определяющими в ходе решения^[3].

Само понятие вторичной моделирующей системы (или метасистемы) возникло за пределами психологии. В трудах французских (Ф. де Соссюра, Р. Барта, М. Фуко, К. Леви-Строса и других) и отечественных (Ю. М. Лотмана, И. А. Мельчука, Б. А. Успенского, В. В. Иванова и других) лингвистов и литературоведов были разработаны представления о системах высокого порядка, которые используют в качестве материала естественный язык и иные культурные реалии и реорганизуют их в соответствии со своими законами, создавая таким образом новые значения, что требует дополнительных способов интерпретации. Скажем, К. Леви-Строс показал, что сложные мифологические построения первобытных народов могут быть описаны посредством бинарных оппозиций — «верх-низ», «впередназад», «мужское-женское» и т. п., — которые в совокупности составляют универсальную систему. Ее универсальность можно понимать двояко: с одной стороны, как применимость для описания самых разных конкретных мифов в любых регионах Земли, т. е. выявление их общей структуры и несводимость ни к одному из конкретных сюжетов, с другой стороны, как присутствие подобных универсалий в бессознательном носителей той культуры, где бытуют эти мифы [К. Леви-Строс, 1983].

В основе построения карты-2 в данном случае лежит важная психологическая структура, которая и обеспечивает референцию-2, — понятие функции (y=f (х)). Оно играет ключевую роль в построении карты-2 в ходе решения текстовых задач по алгебре (по крайней мере, в пределах школьной программы). В тексте этих проблемных ситуаций можно обнаружить связанную пару величин, которые определены одна через другую и не могут быть непосредственно вычислены. Скажем, в задаче: «На автостоянке находятся 40 машин — автомобили и мотороллеры. У них вместе 100 колес и 40 рулей. Сколько тех и других машин?» — это соотношение между количеством мотороллеров (х) и количеством автомобилей (40 — х). Собственно, это и есть «минимальные» функция (здесь: у = х и у = 40 — х). Из подобных составных частей и их комбинаций и конструируется уравнение, с помощью которого решается задача. Безусловно, и целое уравнение является функцией, но зафиксированной в крупном масштабе: более мелкие конструкции «вложены» в нее, сопоставлены между собой в определенных отношениях. Принципиально важно, чтобы между парой таких величин в условии задачи было задано как минимум две связи (в приведенном примере это сумма колес и сумма рулей). Если это требование выполняется, то имеется объективное основание для построения уравнения. Если же связь всего одна, для него не хватит данных.

Роль понятия функции чрезвычайно велика. С одной стороны, оно выполняет роль связки между картой и территорией.

В случае традиционной географической карты в этом качестве выступают картографическая проекция, которая устанавливает зависимость между географическими координатами точек земного эллипсоида и прямоугольными координатами тех же точек на плоскости, а также система условных обозначений.

В ходе решения алгебраической задачи эту же нагрузку несет названное понятие. Его использование позволяет решателю справиться с задачей, т. е. построить адекватную карту-2. Конечно, можно ошибиться, и решая правильно составленное уравнение, но это будет техническая ошибка, а не ошибка референции. Таким образом, понятие выступает как способ организации и представления содержания задачи, являясь своеобразной «моделью для сборки»^[4]. Использование понятия функции в ходе решения учебной задачи (предусмотрительно составленной ее авторами так, чтобы облегчить его использование) — устойчивый «культурный» способ решения текстовых задач по алгебре.

Целый ряд исследований процесса решения таких задач прямо направлен на изучение процессов референции и построения карт по ходу решения. При этом часто предметом интереса становятся не уравнения, а другие типы карт-2, которые, как считают исследователи, более просты для понимания и удобны в использовании и потому должны оказывать помощь решателю при построении уравнений. Среди подобных карт можно отметить различные варианты компьютерной графики [S. К. Reed, 1985], иерархическую модель, состоящую из узлов и предикатов, выделенных из ранее решенных текстовых алгебраических задач, в каких-то отношениях сходных с решаемой [S. К. Reed, 1987] и, наконец, наиболее известные в этой области алгебраические схемы, предложенные В. Кинчем [С. A. Weaver, W. Kintsch, 1992]. (В отечественной педагогической практике обучения алгебре в средней школе для тех же целей используется табличная форма представления текстовой задачи).

Эти схемы в форме графа передают содержание и существенные связи текстовой задачи по алгебре, совмещая в одном формате числовые данные и отношения между переменными, представленные в условии (см., например, рис. 3.3). Отметим, что составление уравнения по правильно выполненной схеме представляет собой относительно простую операцию. В приведенном примере схема прямо фиксирует равенство двух выражений неизвестного расстояния от лагеря до станции, куда направляется турист: 15 х (½ + х) = 40 х (х — 2). Экспериментальные исследования демонстрируют значимый позитивный эффект использования подобных способов репрезентации задачи даже не слишком компетентными решателями [С. A. Weaver, W. Kintsch, 1992]. ^{* 2[5][6]}

Рис. 3.3. Пример алгебраической схемы текстовой задачи (по [С. A. Weaver, W. Kintsch, 1992]).

M. Kozhevnikov, 1999], физике [В. L. Sherin, 2001], химии [A. Georgiadou, G. Tsaparlis, 2000] и другим предметам.

Однако и у описанной теоретической модели есть свои уязвимые места. В первую очередь они касаются самых проблемных моментов процесса решения, в которых базовая метафора начинает «хромать»: репрезентации неизвестного решателю содержания и ошибок нанесения территории на карту (т. е. ошибок картирования). Действительно, как можно изобразить на карте еще не изведанную часть территории — скажем, неизвестный решателю ответ задачи? Первый способ: оставить на карте белые пятна. Однако для этого нам нужно четко знать расположение известных и неизвестных участков друг относительно друга и иметь представление о границах между ними. Иначе их нельзя будет разместить на одной карте. Такая ситуация может быть характерна для хорошо определенных задач, где четко заданы и условия, и цель решения (см. выше описание теории заданного пространства), но никак не для сложных инсайтных задач, в которых само направление поиска неизвестно. Второй способ: построить какуюнибудь (скорее всего, неверную) карту, которая будет перестраиваться и дополняться по ходу решения. Такой подход кажется более продуктивным и обещающим. Однако и здесь есть свои подводные камни. Так, однажды возникнув, карта (репрезентация задачи) оказывается весьма инерционной структурой, резко замедляющей, а то и вообще блокирующей появление новых идей (см., например: [М. Bilalic,.

Р. McLeod, F. Gobet, 2008]).

Еще более неприятными оказываются трудности, связанные с устройством некоторых видов задач, где отдельные важные условия специально замаскированы. Не очень понятно, что в таком случае попадет на карту, которая возникает у решателя в начале «пути» (возможно, вообще ничего), и как можно будет найти, опираясь на такую карту, подобный «спрятанный» объект.

То ли по причине указанных трудностей, то ли в силу сложности требуемых здесь теоретических моделей метафора «карты и территории» (и конструктивистские идеи в целом), как уже было отмечено, не получили широкого распространения в психологии решения задач и проблем.

Следующие метафоры процесса решения задач служат определенным дополнением к базовым метафорам, которые мы обсуждали до сих пор.

• [1] Референция (от лат. referens — сопоставляющий) — соотнесение слова (знака)с объектами (сущностями), о которых делается высказывание.
• [2] Этот термин, заимствованный из школьной дидактики, обозначает такие алгебраические задачи, которые формулируются и предъявляются для решения в текстовойформе.
• [3] Удивительно, но народные загадки были проанализированы с этой точки зрения[Ю. И. Левин, 1973], а алгебраические задачи не привлекли внимания исследователей.
• [4] Выражение X. Кортасара.
• [5] Заметим, что сходная логика рассуждений позволяет описать илиразработать с педагогическими целями целый ряд разнотипных карт-
• [6] которые оказываются эффективны при решении самых разных текстовых задач: по арифметике [W. Kintsch, J. G. Greeno, 1985; М. Hegarty,