Числовые множества. 
Информатика и математика

Элементами числовых множеств являются различные числа. Говорят, что числовое множество замкнуто относительно какой-либо операции (в том числе арифметического действия), если результат этой операции над любыми элементами рассматриваемого множества тоже является элементом данного множества.

Наиболее простым числовым множеством, замкнутым относительно операций сложения и умножения, является множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, …}. Действительно,.

Однако множество натуральных чисел не замкнуто относительно, например, операции вычитания. Если т < п, то очевидно, что m-ngIV.

Множество целых чисел Z 3, -2, -1,0,1,2,3,…} образуется путем добавления к множеству N отрицательных чисел, равных по абсолютной величине элементам N, а также особого числа «ноль», обладающего следующими свойствами, которыми не обладает ни одно другое число:

На ноль делить нельзя.

Множество целых чисел Z замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения, т. е.

Но множество Z не замкнуто относительно операции деления, так как результат деления одного целого числа на другое — не всегда целое число.

Множество рациональных чисел Q можно задать следующим образом.

Если I можно представить в виде.

где т, п е N и одно из них может быть равно нулю, то произвольное число х из Q представимо в виде конечной десятичной дроби, например:

Если знаменатель I невозможно представить в виде (1.1), то рациональное число записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби, например:

Множество Q замкнуто относительно операции деления (за исключением деления на нуль, которое вообще невозможно), так как

а также относительно других рассмотренных ранее операций.

Бесконечные непериодические десятичные дроби называются иррациональными числами. К ним относятся, например, [2 = 1,41 421 356. число п — 3,1 415 926…

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел R. Очевидно, что.

Основными подмножествами множества действительных чисел R являются:

1) отрезок [а, Ъ], определяемый следующим образом:

2) интервал (а, Ь):

3) полуинтервалы [а, Ь) и (а, Ь]:

Интервалы и полуинтервалы могут быть бесконечными: (-°°, +°°), (-<�", а), (а, +°°), (-оо, а], [а, +°°). Если для задачи неважно, входят или нет в подмножество концевые точки, то часто для обозначения отрезков, интервалов и полуинтервалов используют общий термин «промежуток»;

4) существует понятие окрестности точки: е (эпсилон) — окрестность точки а — это интервал, определяемый соотношением е-окрестность, а = {х|а-е<�х<�а + е}.

Очевидно, что если х е е-окрестности точки а, то выполняется неравенство |jc — а | < е.