Определение h (t) и h8 (t) через К (р)

Как упоминалось выше, при воздействии на вход четырехполюсника единичного напряжения (t) = 1 СО напряжение на выходе его u₂(0 = hat). Если это положение записать относительно изображений, учитывая, что 1 (t)^, и обозначив изображение h (t) через Я (р),.

Р

то Я (р) = К (р)/р.

Отсюда.

Определим теперь h (t) через К (р). Поскольку h (t) ^ Я (р), а Я (р) определено предыдущей строкой, то.

При воздействии на вход четырехполюсника единичным импульсом напряжения u^t) = 1 • 8(t) ^ 1 = l^Cp) напряжение на выходе его.

таким образом,.

Пример 105.

Запишем h (t), для схемы на рис. 8.42, а:

Метод пространства состояний

Метод пространства состояний (метод переменных состояния) представляет собой упорядоченный способ нахождения состояния системы в функции времени, использующий матричный метод решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши (в нормальной форме). Применительно к электрическим цепям под переменными состояния понимают величины, определяющие энергетическое состояние цепи, т. е. токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин полагаем известными к началу процесса. Переменные состояния в обобщенном смысле назовем х. Так как это некоторые функции времени, то их можно обозначить x (t).

Пусть в системе п переменных состояния. Матрицу-столбец переменных состояния в п-мерном пространстве состояний обозначим.

'V.

[х]= …, т выходных величин (токи, напряжения) обозначим у,

_^хп

Уг

матрицу-столбец выходных величин [у] = … .

_Ут _

Источники воздействий (источники ЭДС и тока) будем именовать z.

*1.

Матрица-столбец источников воздействий [z] = … .

Л_.

Для электрических цепей можно составить матричные уравнения вида.

где [М], [N], [Р], [Q] — некоторые матрицы, определяемые структурой цепи и значениями ее параметров.

На основании принципа наложения решение (8.86).

где [х (0)] — матрица начальных значений х.

Первое слагаемое в формуле (8.88) описывает свободные процессы в системе, второе — принужденные и свободные при нулевом исходном состоянии (вывод формулы (8.88) см. в конце параграфа).

Из (8.87) и (8.88) находим

Систему уравнений (8.86) составляют либо на основании законов Кирхгофа, либо путем приведения схемы к резистивной (без элементов L и С). Как это можно сделать, пояснено в примере 100.

Поясним формулу (8.88) на простом примере. Ток в схеме на рис. 8.48 до коммутации был z (0_) =E/(2R). Уравнение состояния для этой схемы di/dt = ~(R/L)i + (E/L), т. е.

Рис. 8.48.

Матричную функцию eM^f в формуле (8.88) вычисляют по формуле (теореме) Сильвестра:

где.

здесь Xj — собственные значения (характеристические числа) квадратной матрицы [М], т. е. корни уравнения.

Из уравнения (8.92) следует, что уравнение относительно X составляют, приравнивая к нулю определитель матрицы [М], в котором все элементы этой матрицы а_тт (m = 1, …, п), расположенные по главной диагонали, заменяют на элементы а_тт — X.

Характеристические числа X — это не что иное, как корни характеристического уравнения послекоммутационной схемы. Запись решения в виде ряда (8.90) предполагает, что все характеристические числа различны (нет кратных корней).

Если же среди корней уравнения det ([M] - Л. 1]) = 0 будет кратный корень кратности s, то составляющая eM^f, обусловленная этим корнем, имеет вид.

где Adj (X[l] — [M]) — присоединенная матрица к матрице Х[1] — [М]. В ней все элементы, а у заменены на алгебраические дополнения, а затем проведено транспонирование. Составляющие решения по формуле (8.93) соответствуют части решения по формуле разложения (см. параграф 8.50), учитывающей кратные корни.

При машинном счете функцию e^[M]t подсчитывают разложением в ряд:

Пример 106.

Методом пространства состояний исследовать переходный процесс в схеме на рис. 8.49, а. До коммутации был установившийся режим: Е = 4 В; J = 1 А; R = 2 Ом; L = 1 Гн; С = 1 Ф.

Рис. 8.49.

Решение. Обозначим токи и напряжения в соответствии с рис. 8.49, а. До коммутации.

В качестве переменных состояний выбираем ток Д и напряжение на конденсаторе и_с.

Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим иногда применяемый, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с источниками ЭДС и тока. С этой целью индуктивные элементы в послекоммутационной схеме заменяем на источники тока, которые доставляют ток в том же направлении, что и в исходной схеме (в рассматриваемом примере L заменяем на источник тока i₁ с напряжением на нем Ldi^dt), а конденсатор С — на источник ЭДС, причем в соответствии с теоремой компенсации ЭДС этого источника должна быть направлена встречно току в ветви с конденсатором, т. е. встречно напряжению и_с на конденсаторе (в рассматриваемом примере конденсатор С с напряжением на нем и_с заменен на источник ЭДС Е_г = и_с).

В результате схема окажется без индуктивных и емкостных элементов (чисто резистивной), но с дополнительными источниками тока и ЭДС (рис. 8.49, б).

В полученной резистивной схеме один из узлов заземлим. Составим уравнения по методу узловых потенциалов и определим потенциалы незаземленных узлов. В рассматриваемом примере не заземлен всего один узел а. Поэтому.

По известным потенциалам узлов рассчитаем напряжения на источниках тока L_kdi_k/dt, эквивалентирующих индуктивные элементы L_k, и токи i_m = C_mdu_Cm / dt через источники ЭДС, эквивалентирующие емкостные элементы емкостью С_т.

Для первой ветви схемы на рис. 8.49, б

Отсюда.

Ток второй ветви i₂ можно определить по первому закону Кирхгофа или по закону Ома для участка цепи с источником ЭДС:

Следовательно,.

Таким образом, уравнения переменных состояния для послекоммутационной схемы на рис. 8.49, а таковы:

или.

где.

Составим уравнение для определения характеристических чисел X:

Таким образом,.

По формуле (8.91).

По формуле (8.88),

Выполнив подсчеты, полупим.

Если за выходную величинуу принять напряжение u_dc между точками d и/, то

Поясним переход от (8.86) к (8.88).

Решение неоднородного уравнения (8.86) можно получить в виде суммы полного решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Полное решение однородного уравнения.

где т — постоянная величина, найдем по аналогии с решением скалярного дифференциального уравнения х — тх, х = e^{m (t-T}bc (x), в виде

Подставив (8.95) в (8.94), убедимся в справедливости решения однородного уравнения (8.94). Функцию обозначим [cp (t)], а — [cp (tт)].

Так как.

то.

В соответствии с методом вариации произвольных постоянных частное решение неоднородного уравнения представим в виде.

Общее решение.

где Я (t) требуется определить.

Подставим.

в уравнение (8.86):

Поскольку [(p (t — т)] есть матрица, столбцы которой являются решением уравнения (8.94), то первый член выражения (8.97) — нулевая матрица. Следовательно,.

Проинтегрируем (8.98) оттдо t:

Из уравнений (8.96) и (8.99) следует.

но [ф (0)] = [1]. Умножая (8.100) слева на [tp (t — т)] и учитывая, что получим.

Полагая в (8.101) т = 0 и заменяя затем переменную X на т, получим формулу (8.88).