Интеграл Дюамеля. 
Теоретические основы электротехники. 
Том 1. Электрические цепи

Познакомимся с третьим методом расчета переходных процессов в линейных электрических цепях — расчетом с помощью интеграла Дюамеля.

При использовании интеграла Дюамеля переменную, по которой производится интегрирование, обозначим т, а под t по-прежнему будем понимать тот момент времени, в который требуется найти ток в цепи. Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями в момент времени t = 0 подключается напряжение и (т) (рис. 8.39).

Рис. 8.39.

Для того чтобы найти ток в цепи в момент времени t, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения u (0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени.

Напряжение и (0) в момент времени t вызовет в цепи ток u (0)g (t), где g (t) — переходная проводимость. В момент времени т + Ат (см. рис. 8.39) возникает скачок напряжения.

Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени t, вызываемую этим скачком напряжения, А и, необходимо п'(т)Ат умножить на значение переходной проводимости с учетом времени действия скачка до момента времени t. Из рис. 8.39 ясно, что это время равно t — т — Ат. Следовательно, приращение тока от этого скачка составляет u'(x)g (t — т — Дт) Дт.

Полный ток в момент времени t получим, если просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току u (0)g (t):

Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени Ат на бесконечно малый dx и перейдем от суммы к интегралу:

Формулу (8.75) называют интегралом Дюамеля.

С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, но и любую другую физическую величину, например напряжение. В этом случае в формулу вместо переходной проводимости g (t) будет входить переходная функция h (t), если на входе цепи действует источник ЭДС (напряжения), и переходное сопротивление R (t), если на входе цепи действует источник тока.

Последовательность расчета с помощью интеграла Дюамеля

Расчет с помощью интеграла Дюамеля проводят в четыре этапа:

• 1) определение переходной проводимости g (t) (переходной функции h (t)) для исследуемой цепи;
• 2) нахождение g (t — х) (h (t — х)). С этой целью в формуле для g (t) (h (t)) заменяют t на (t — х);
• 3) определение п'(х). Для этого находят производную от заданного напряжения u (t) по времени t ив полученном выражении заменяют t на х;

4) подстановка найденных на этапах 1—3 функций в формулу (8.75), интегрирование по переменной т и подстановка пределов.

Пример 101.

Найти й =/(t) и и₂ -fit) при замыкании ключа на схеме (рис. 8.40). Напряжение источника ЭДС u (t) = 100(1 — e~^at) В; а = 025 cr¹; R — 0,5 Ом; L_x = 1 Гн; М = 0,5 Гн.

Рис. 8.40.

Решение. Переходная проводимость цепи, состоящей из последовательно включенных R и L,.

и ^R

где о = —;

V.

Первое слагаемое в формуле (8.75) выпадает, так как п (0) = 0. При этом.

При интегрировании учитываем, что е~^ы от t не зависит:

Напряжение на зажимах вторичной обмотки