Автомодуляция. 
Хаотические колебания (странные аттракторы)

Автомодуляцией называют режим работы нелинейной электрической цепи, находящейся под воздействием периодической вынуждающей силы частотой ш, при которой амплитуды токов и напряжений в цепи периодически изменяются без воздействия внешнего модулирующего фактора. Автомодуляция возникает вследствие неустойчивости периодического режима работы на частоте вынуждающей силы о). Процесс оказывается почти периодическим для огибающих амплитуд первых гармоник и непериодическим (хаотическим) для мгновенных значений.

Выведем основные зависимости, описывающие процесс автомодуляции в схеме (на рис. 15.57, а) с нелинейным конденсатором, кулонвольтную характеристику которого в соответствии с параграфом 15.26 выразим в виде и_с = ash (3q.

Рис. 15.57.

Так как в цепи действуют постоянная Е и синусоидальная Е_тsin (tot + ф) ЭДС, то заряд q имеет постоянную и синусоидальную компоненты:

Постоянная составляющая напряжения на конденсаторе (см. параграф 15.16).

Первая гармоника напряжения U_C1 = 2ach (3Q_o(-;J₁0'PQ_m))sinwt_J первая гармоника тока = coQ_mcoscot. Если в уравнение цепи.

подставить записанные выражения для i_b U_co + и_с и разбить его в соответствии с методом гармонического баланса на уравнения для постоянной составляющей, а также для синусной и косинусной компонент, а затем два последних уравнения возвести в квадрат и сложить.

6? R

для устранения угла ф, то, введя обозначения а =, Ъ = —, (3Q₀ = п, со ²L со!

(3Q_m = т, получим два следующих уравнения:

Решим (15.111) относительно chn:

Уравнение (15.112) дает связь между пит, обусловленную параметрами цепи по первой гармонике частоты ш, а уравнение (15.110) — по постоянной составляющей. На рис. 15.57, б изображена зависимость п от т, построенная по соотношению (15.112) при а = 0,5; b = 0,1; с = 0,054. Верхний участок кривой соответствует знаку «плюс», а нижний — знаку «минус» перед радикалом в формуле (15.112).

Задаваясь значениями п в интервале 0—6 и беря соответствующие им значения т из рис. 15.57, б, по формуле (15.110) строим зависимость (3Q₀ =f (U_c0/ос) (рис. 15.57, в). Из рисунка видно, что в области значений U_co/a = 35 60 имеется падающий участок, не прикрытый восходящими участками.

Из рис. 15.57, в видно, что дифференциальная емкость нелинейного конденсатора по приращениям постоянных составляющих заряда AQ₀ и напряжения AU_C0 на падающем участке зависимости (3Q₀ =f (U_C0/a).

отрицательна: С_диф₀ = <0. В соответствии с параграфом 17.2 ис;

следуем, устойчиво ли будет положение изображающей точки, если она окажется на падающем участке этой зависимости, не прикрытом восходящими ветвями. В исходном положении U_co = Е и среднее за период Т = 1/f значение среднего тока ?_ср = 0. Положим, что U_co получило малое приращение AU_co > 0 флюктуационного происхождения. Ему будет соответствовать отрицательное приращение заряда AQco = С_диф₀Д[/_Со и отрицательное приращение среднего за период тока в цепи Ai_cp =С_диф₀—Запишем дифференциальное уравнение для приращений постоянных составляющих:

После алгебраизации ему соответствует характеристическое уравнение

Один из двух корней его положителен (так как С_диф₀ < 0),.

что свидетельствует о неустойчивости положения рабочей точки на падающем участке на рис. 15.57, в. Изображающая точка на этом рисунке будет двигаться по штриховой линии. Движение по штриховой линии описывает макропроцесс в схеме. Для мгновенных значений тока, заряда, напряжений на элементах схемы процесс будет являться непериодическим. Такого рода непериодические процессы в нелинейных электрических цепях переменного тока, причины возникновения которых представляются непонятными, в зависимости от степени их упорядоченности условимся называть автомодуляцией или хаосом. Если высшие гармоники в этих процессах в токах и напряжениях будут выражены слабо, то такие процессы будем именовать автомодуляцией, если сильно — хаосом. Автомодуляцию и хаос можно рассматривать как катастрофу ожидаемого периодического режима. В иностранной литературе последних лет подобные колебания стали называть странными аттракторами (аттрактор — это путь от одного типа движения к другому^[1]), самим названием подчеркивая, что природа его непонятна.

Основная причина возникновения такого рода процессов — проявление ряда малоизвестных физических явлений, приводящих к возникновению нелинейной неявно выраженной обратной связи, осуществляемой в той или иной схеме, чаще всего через взаимодействие гармоник разных частот. При возникновении обратной связи через нелинейное взаимодействие гармоник тока (напряжения) различных частот входная цепь (для протекания тока одной частоты) и выходная цепь (для протекания тока другой частоты) могут быть либо совмещены, либо быть раздельными. Выявлению каналов действия такой обратной связи в схемах с различными управляемыми и неуправляемыми нелинейными элементами посвящено приложение П10. В нем показано также, в чем отличие этих колебаний от автоколебаний в цепях с постоянными во времени источниками ЭДС или тока.

• [1] Термин «странные аттракторы» предложен в 1971 г. Руэлем и Тиксеном в работе, посвященной турбулентным движениям в вязкой несжимаемой жидкости при большомчисле Рейнольдса.