Функция распределения. 
Курс общей физики. 
Книга 3: термодинамика, статистическая физика, строение вещества

Микросостояния а дискретной системы удобно идентифицировать при помощи совокупности независимых физических величин Ль …, Л, количество которых равно числу s степеней свободы этой системы. Другими словами, многомерная величина.

может быть использована вместо номера микросостояния системы а. При этом функция распределения будет некоторым образом зависеть от.

Условие нормировки (2.3) для этой функции Л:

более подробно можно записать следующим образом:

Так как многомерная величина X однозначно определяет состояние системы, любая другая физическая величина /, характеризующая эту систему, может быть представлена как функция от X:

Среднее значение этой величины определяется формулой.

которая по форме совпадает с формулой (2.13), но в действительности символизирует суммирование по Ль Ло, …, Х₉:

Пусть

есть многомерная непрерывная величина, однозначно определяющая микросостояние исследуемой системы, s — число степеней свободы. Случайный процесс, протекающий в такой системе, описывают при помощи плотности вероятности.

которая называется функцией распределения многомерной случайной величины х и удовлетворяет условию нормировки.

Это условие символически можно записать следующим образом: где Среднее значение / функции / = f (x) = f (x1,…, х₅) определяется стандартной формулой.

При вычислении сумм (2.57), (2.59) и интегралов (2.60) и (2.62) следует помнить, что многомерные величины {A'i,…, Л'*} и {xi, …, я,} должны принимать только такие значения, чтобы каждое микросостояние системы отмечалось ими только один раз. При суммировании и интегрировании по всем возможным значениям многомерных величин это правило нарушается для систем, состоящих из тождественных частиц.

Рассмотрим следующий пример. Пусть система состоит из двух тождественных частиц, движущихся вдоль оси х. Состояние такой системы определяется значениями х и хо координат этих частиц. При этом многомерные величины {xi, хо} и {хо, х_А}, отличающиеся перестановкой координат, соответствуют одному и тому же состоянию системы в силу тождественности частиц. Если производить интегрирование по всем возможным значениям координат, то каждое состояние будет отмечено дважды, а не один раз, как положено. В таком случае для исправления ошибки полученный результат следует разделить на 2. В общем случае, когда система состоит из произвольного числа N частиц, деление следует производить на число перестановок N величин, каждая из которых характеризует состояние одной частицы, т. е. на N. При этом вместо формул (2.60) и (2.62) будем иметь.

где х — многомерная величина, определяющая состояние системы из N тождественных частиц, а интегрирование производится по всем возможным значениям параметров, определяющих состояние одной частицы.

Функция распределения W = W (t_t X) (или w — w (t, х)) определяет макроскопическое состояние а многочастичной системы. Макросостояние (т системы есть совокупность ее микросостояний а, в каждом из которых она может находиться с той или иной вероятностью. Иначе говоря, статистическое описание макросостояния а системы осуществляется посредством функции распределения W — W (t,, Y). Макроскопические параметры состояния а рассматриваются в статистической физики как функционалы от функции распределения. Например, такими функционалами являются внутренняя энергия и энтропия системы.