Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Сравнение бесконечно малых функций

Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно малых функции являются бесконечно малыми, чего нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может дать разные результаты.

Например, если а (х) = 2х, р (х) = Зх, то.

Если же а (х) = х², Р (л;) = х³, то.

Целесообразно ввести правила сравнения бесконечно малых функций с использованием соответствующей терминологии.

Пусть при х —" а функции а (х) и p (.v) бесконечно малые. Тогда различают следующие варианты их сравнения, в зависимости от величины с предела в точке а их отношения:

• 1. Если с = I, то, а (х) и Р (х) — эквивалентные бесконечно малые: а (х) — р (х).
• 2. Если с = 0, то а (х) — бесконечно малая более высокого порядка, чем р (х) (или имеет более высокий порядок малости).
• 3. Если с = d * 0 (d — число), то а (х) и Р (х) — бесконечно малые одного порядка.

Часто бывает недостаточно знания, что одна бесконечно малая по отношению к другой является бесконечно малой более высокого порядка малости, нужно еще оценить величину этого порядка. Поэтому используется следующее правило.

4. Если Mm — — =d*0, то а (х) — бесконечно малая л-го порядка отно- *->лр" (*).

ситсльно Р (х). В этом случае используют символ о «о малое»): а (х) = о (Р (х)).

Заметим, что верны аналогичные правила сравнения бесконечно малых функций при х —"оо, х —" —оо, х —> +">, а также в случае односторонних пределов при х -" а слева и справа.

Из правил сравнения вытекает одно важное свойство:

.• <*, (х) ;

то существует и предел lim ¹, причем оба этих предела равны.

*->"р, (х) В ряде случаев доказанное утверждение упрощает вычисление пределов и проведение оценок.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Функции sin х и х при х —" 0 являются эквивалентными бесконечно малыми в силу предела (8.11), т.с. при х —> 0 sin х ~ х.

Действительно, мы имеем:

• 2. Функции sin кх и sin х являются при д: —> 0 бесконечно малыми одного порядка, поскольку
• 3. Функция а (х) = cos ах — cos bx (а * Ь) является при х —" 0 бесконечно малой второго порядка малости по отношению к бесконечно малой .v, так как

Пример 7. Найти lim.

*-+° х + х"

Решение. Так как sin кх ~ кх и х + х² ~ х:

Сравнение бесконечно больших функций

Для бесконечно больших функций также имеют место аналогичные правила сравнения, с той лишь разницей, что для них вместо термина «порядок малости» употребляется термин «порядок роста».

Поясним сказанное на примерах.

1. Функции f (x) = (2 + х)/х и g (x) = 2/х при х -" 0 являются эквивалентными бесконечно большими, поскольку.

Данные функции /(х) и #(*) имеют одинаковый порядок роста.

2. Сравним порядки роста функций f (x) = 2х? + I и g (x) = х³ + х при х -> для чего найдем предел их отношения:

Отсюда следует, что функция g (х) имеет более высокий порядок роста, нежели функция / (х).

3. Бесконечно большие при х —" °о функции/(х) = Зх³ + х и #(х) = х³ — 4х² имеют одинаковый порядок роста, так как.

4. Функция /(х) = х³ + 2х + 3 является при х —" бесконечно большой третьего порядка по отношению к бесконечно большой функции g (х) = х — I, поскольку.