Теплоемкость электронного газа в металлах

Внутренняя энергия свободных электронов в металле при Т = 0 определяется формулой (10.35). При не очень высоких температурах расчет по формуле (10.34) приводит к следующей зависимости внутренней энергии электронного газа от температуры:

Когда температура Т существенно больше температуры Ферми Тр и электронный газ становится невырожденным, его внутренняя энергия с учетом формулы (10.39) будет.

График температурной зависимости внутренней энергии электронного газа приведен на рис. 11.6. Пунктирная линия есть асимптота, описываемая зависимостью (11.56).

Рис. 11.6. Температурная зависимость внутренней энергии электронного газа.

Теплоемкость электронного газа определяется формулой Продифференцировав функции (11.55) и (11.56), найдем, что.

при низких температурах, и.

при Т TfГрафик зависимости теплоемкости электронного газа от температуры показан на рис. 11.7.

Рис. 11.7. Температурная зависимость теплоемкости электронного газа.

Согласно формуле (11.3) теплоемкость металла равна сумме теплоемкостей кристаллической решетки и газа свободных электронов. Температурные зависимости этих теплоемкостей характеризуются соответственно температурой Дебая 9 и температурой Ферми Тр. Расчет показывает, что Tf ^ 10⁴ К, т. е. температура Дебая существенно ниже температуры Ферми: в <�С Tf;

При низких температурах (Т 9) теплоемкость электронов (11.57) выше теплоемкости (11.54) кристаллической решетки. С повышением температуры теплоемкость решетки ''быстро" растет и становится больше теплоемкости электронов: С >> С_е. Это неравенство справедливо в силу того, что температура Ферми очень высока и электронный газ в металлах является вырожденным. Таким образом, при Т > 9 теплоемкость электронного газа меньше теплоемкости кристаллической решетки и поэтому закон Дюлонга и Пти справедлив не только для неметаллических веществ, но также и для металлов.

Тепловое расширение твердых тел

Экспериментально установлено, что твердые тела при нагревании расширяются, т. е. размеры и объем твердого тела увеличиваются с ростом температуры. Причем длина / тела зависит от температуры по линейному закону:

где 1₀ — длина тела при t = 0° С, а — коэффициент линейного расширения. Наблюдается слабая зависимость о от температуры.

Рассмотрим взаимодействие двух соседних атомов твердого тела. Примем для потенциальной энергии этого взаимодействия приближенную формулу где.

R — произвольное расстояние между рассматриваемыми двумя атомами, R₀ — расстояние, соответствующее наименьшему значению потенциальной энергии, си/- положительные коэффициенты.

Так как R = Л₀+?, среднее расстояние R между атомами равно сумме R₀ и среднего значения ?:

Длина тела / вдоль линии, соединяющей рассматриваемые атомы, равна произведению R на число промежутков между атомами, расположенными на этой линии:

где N — число атомов в цепочке.

Так как сила и потенциальная энергия связаны соотношением.

зависимости (11.60) потенциальной энергии от расстояния R между атомами соответствует сила их взаимодействия.

Очевидно, что, когда твердое тело находится в состоянии термодинамического равновесия и отсутствуют внешние силовые воздействия на это тело, среднее значение силы взаимодействия атомов должно быть равно нулю: F = 0, т. е.

Как известно, среднее значение потенциальной энергии упругих колебаний при достаточно высоких температурах равно кТ:

Исключив величину ?² из уравнений (11.65) и (11.66), найдем, что.

Подстановка этого выражения в формулы (11.62) и (11.63) приводит к следующей зависимости длины тела от температуры:

Абсолютная температура Т связана с температурой t по Цельсию соотношением Т = 273 + t. С учетом этого соотношения нетрудно показать, что из формулы (11.67) следует линейная зависимость (11.59). Таким образом доказано, что тепловое расширение твердых тел обусловлено ангармоничным взаимодействием атомов. Приближенно ангармоничность взаимодействия атомов характеризуется кубическим членом ^ f (R-R₀)³ в зависимости (11.60) потенциальной энергии взаимодействия двух атомов от расстояния R между ними.