Индексы. 
Политический анализ и прогнозирование. 
Часть 1

Получение набора эмпирически наблюдаемых показателей еще не дает нам оценки базовой переменной — политической стабильности. Нерешенными остаются вопросы о том, каким образом будут формироваться единые оценки уровня ожиданий и уровня благосостояния, а также о способе измерения «разрыва» между этими двумя показателями (который и является индикатором стабильности в соответствии с теоретической операционализацией). Последний вопрос довольно сложен и может потребовать создания специальной математической модели для своего решения; эту проблему мы оставим для магистерского курса политического анализа. А вот проблема получения единой меры на основе нескольких показателей актуальна и для нашего предыдущего простого примера. Напомню, что по итогам операционализации мы имеем две переменные для отображения понятия «политическая стабильность»: С, и С₂.

В принципе, мы можем на этом остановиться и сказать, что оценкой для политической стабильности в каждой стране будет столбец из двух чисел: . Такая оценка называется векторной оценкой; в отличие от школьного курса математики, под вектором мы будем понимать не геометрический объект — направленный отрезок, а упорядоченный столбец чисел. В то же время векторная оценка не очень удобна для решения задач сравнения стран между собой. Неясно, где больше политической стабильности: в стране А с оценкой.

или в стране В с оценкой ? Поэтому, как пра;

вило, исследователи стараются получить в результате эмпирической операционализации одно число, характеризующее измеряемый признак. Такая оценка называется скалярной. Если скалярная оценка получается на основании нескольких отдельных оценок, ее часто называют индексом^[1].

Очевидно, что для получения индекса политической стабильности (И ПО в нашем примере необходимо осуществить какую-то операцию над переменными, определенными в результате предшествующей эмпирической операционализации. Говоря математическим языком, мы должны определить функцию, аргументами которой будут переменные С, и С₂:

Вопрос в том, какая это будет функция. Чтобы на него ответить, необходимо учесть ряд факторов.

Во-первых, следует принять во внимание шкалы измерения переменных, так как они накладывают ограничения на использование математических операций. Общие правила таковы:

• • На относительном уровне допустимы все операции над скалярными величинами. В расчетах индексов ключевую роль играют две из них — сложение и умножение. Соответственно, выделяются аддитивные индексы, когда показатели складываются, и мультипликативные индексы, когда показатели перемножаются.
• • На интервальном уровне допустимы линейные преобразования. к которым относятся сложение переменных и умножение переменной на постоянное число. Соответственно, здесь возможны только аддитивные индексы.
• • Никакие индексы не могут быть рассчитаны на основе номинальных и порядковых переменных.

В нашем примере переменные С, и С₂ измерены по шкале отношений, поэтому имеется две принципиальных возможности. Первая заключается в построении аддитивного индекса:

или

где С, и С₂ — компоненты индекса ПС (это понятие используется только для аддитивных индексов, компоненты — это слагаемые).

В случае (2.12) рассчитывается сумма, в случае (2.13) — среднее арифметическое. Принципиальной разницы между (2.12) и (2.13) нет, так как в основе расчета среднего арифметического лежит операция сложения. Чтобы оценить возможность построения аддитивного индекса, следует обязательно принять во внимание размерность показателей, на основании которых он рассчитывается. Складывать (вычитать) можно только величины одинаковой размерности. Нельзя складывать и вычитать проценты и голоса или рубли и метры. В нашем примере С, и С₂ измерены одинаковыми единицами — в процентах, поэтому с сугубо формальной точки зрения мы можем рассчитать аддитивный индекс.

Но не будем торопиться. Кроме формальной размерности, нужно учесть качественную однородность складываемых величин. Выше при расчете электоральной поддержки оппозиции (ЭПО, 2.8) мы уже складывали проценты голосов, отданных за различные партии. Это вычисление было корректным, поскольку величины отражают проявление одного и того же типа политического поведения — голосования на выборах (протестного в нашем случае). Множество людей, голосующих за одну оппозиционную партию, и множество людей, голосующих за другую оппозиционную партию, не пересекаются, эти величины не «взаимодействуют» между собой. Противоположный пример: голосование за оппозицию и участие в массовых акциях протеста представляют собой разные типы политического поведения, и складывать их не вполне правомерно.

Это довольно тонкий и, в то же время, очень важный момент. Один из хороших практических способов определиться с возможностью построения аддитивного индекса заключается в ответе на вопрос: а может ли высокое значение одной составляющей индекса каким-то образом компенсировать низкое значение другой в общей численной мере интересующего нас признака? В примере с политической стабильностью этот вопрос будет формулироваться так: может ли низкий уровень протестного голосования компенсировать высокий уровень массового протеста с точки зрения политической стабильности? Ответ будет, скорее всего, отрицательным.

Обратимся к примеру, связанному с проблемой измерения уровня демократии. Один из наиболее известных индексов электоральной демократии (демократии, проявляющей себя на выборах) — индекс демократии Ванханена, ЭД. Его составляющими являются уровень электоральной активности (явки, ЭА) и уровень электоральной конкуренции (ЭК). Последняя переменная была операционализирована через суммарный процент голосов, отданных за все партии, кроме победившей. Сначала был предложен аддитивный вариант индекса: ЭД = ЭА + ЭК. Как и в нашем примере, с формальной точки зрения это возможно, так как размерность обоих составляющих индекса одинакова (%). Но тогда получалось, что странам со средним уровнем явки и средним уровнем конкуренции (например, США) присваивается такое же значение индекса электоральной демократии, как и странам с очень высокой явкой и отсутствием электоральной конкуренции (например, СССР):

Для СССР полное отсутствие конкуренции при суммировании «компенсировалось» очень высокой явкой. Очевидно, что результаты вычислений не отражали реального уровня электоральной демократии в этих странах, поэтому в итоге автор остановил свой выбор на мультипликативном индексе: ЭД = ЭА х ЭК. Обратите внимание, насколько радикально изменились оценки уровня демократии в США и СССР:

В нашем примере с политической стабильностью по тем же соображениям уместен мультипликативный индекс:

Достоинством мультипликативных индексов является возможность включать в качестве компонентов переменные разной размерности. В то же время любой мультипликативный индекс представляет собой нелинейную функцию, так как перемножение переменных относится к нелинейным операциям. На практике это означает, что нам будет сложнее предсказать поведение индекса при изменении его отдельных составляющих. В линейном (аддитивном) случае изменение одной из величин всегда будет приводить к пропорциональному изменению индекса при условии, что остальные величины постоянны. В мультипликативном индексе это в общем случае не так. Чтобы эти положения были более понятны, воспользуемся программой Excel и выполним.

Упражнение 2. /.

• 1. В столбец, А таблицы введите числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• 2. Те же числа введите в столбец В.
• 3. В ячейку С1 введите функцию: =А1 + В1. Эта функция будет соответствовать линейному аддитивному индексу. Поставьте курсор в правый нижний угол ячейки, чтобы вместо стрелки появился знак «+». Нажмите левую кнопку и растяните функцию до девятой строки включительно.

Рис. 2.5

• 4. В ячейку D1 введите функцию: =А1*В1. Эта функция будет соответствовать нелинейному мультипликативному индексу. Поставьте курсор в правый нижний угол ячейки, чтобы вместо стрелки появился знак «+». Нажмите левую кнопку и растяните функцию до девятой строки включительно. Функции показаны на рис. 2.5.
• 5. Выделите числа в столбце А. Удерживая Ctrl, выделите числа в столбце С. Постройте точечную диаграмму (меню «вставка — диаграмма — точечная»). Она будет отражать зависимость между аддитивным индексом и одной из его компонент (рис. 2.6я).
• 6. Таким же образом выделите числа в столбцах, А и Э. Постройте точечную диаграмму. Она будет отражать зависимость между мультипликативным индексом и одной из его компонент (рис. 2.6б).

Рис. 2.6.

Как видно из диаграмм, мультипликативные индексы сложнее аддитивных. Поэтому не нужно рассматривать мультипликативные индексы как панацею на все случаи жизни. Напротив, сначала мы всегда «примеряем» к имеющимся величинам аддитивную структуру.

При построении аддитивных индексов иногда используется операция взвешивания отдельных компонент. Это необходимо в том случае, когда у нас имеются веские основания полагать, что составляющие индекса различаются по своей значимости: их «вклад» в измерение основного признака должен быть неодинаковым. Взвешивание представляет собой умножение каждой из компонент индекса на соответствующее постоянное число —- весовой коэффициент:

где Х_{ — компоненты индекса от 1 до п (п — общее число компонент), я, — соответствующие им весовые коэффициенты (веса). Чем больший вес придан компоненте, тем большее влияние на значение индекса — конечный результат измерения — она будет оказывать. Сумма весов должна быть равна единице:

Индекс (2.15) остается линейным, так как умножение переменной на число — линейная операция.

Например, в соответствии с официально утвержденной методикой Министерства регионального развития РФ, «уровень эффективности в сферах государственного управления и повышения инвестиционной привлекательности субъекта Российской Федерации, обеспечения здоровья и образования» определяется по формуле.

где Ир — уровень результативности; Ид — уровень эффективности расходования бюджетных средств; Опр — уровень оценки населением результатов деятельности органов исполнительной власти субъекта Российской Федерации.

Данная формула показывает, что для Правительства Российской Федерации значимость надлежащего расходования бюджетных средств в пять раз выше значимости мнения населения по поводу эффективности деятельности органов власти. Все перечисленные в этом примере переменные представляют собой индексы одинаковой размерности, что и позволяет использовать аддитивный подход.

Но что делать, если мы хотим использовать аддитивный индекс, а его составляющие обладают разной размерностью? В этом случае мы можем воспользоваться одним из методов масштабирования величин — приведения их к одной размерности (или к безразмерному виду).

Одним из самых простых способов является линейное масштабирование. Оно осуществляется по формуле.

где Х^Ь) — линейное масштабированное значение, — наблюдаемое значение переменной X, Х_т]п — минимальное значение X, Х_тлх — максимальное значение X. Линейное масштабирование отображает значения показателя на интервал от 0 до 1, сохраняя пропорции между отдельными значениями. Чтобы освоить технику линейного масштабирования, выполним следующее упражнение.

Упражнение 2.2

Отмасштабируем с помощью Excel переменную «денежные доходы на душу населения в 2009 г.», взятую в разрезе федеральных округов. Данные приведены в табл. 2.10, а также доступны по ссылке http://polit.msu.ru/kaf/lab_quant/.

• 1. Проранжируем значения переменной, используя опцию «Сортировка — сортировка от минимального к максимальному».
• 2. Найдем первое и последнее значения в ранжированном столбце. Минимальное значение составляет 11 645,3 руб., максимальное — 22 215,5 руб.
• 3. Для удобства вычислений зафиксируем значение A",_in = 11 645,3 в столбце D (все функции показаны на рис. 2.7).
• 4. Рассчитаем Х₁ — используя функции типа =B2-D2.
• 5. Рассчитаем размах Х_тм — Х_тт.
• 6. Наконец, получим итоговый показатель по формуле (2.17), разделив результаты п. 4 на результаты п. 5 данного упражнения.
• 7. Теперь построим две гистограммы (меню «вставка — диаграмма — гистограмма»): для столбца «доходы» (исходная переменная) и столбца, содержащего результат преобразования (на рис. 2.7 это столбец LM).

Таблица 2.10

Рис. 27

Рис. 2.8.

Вы видите, что структурные характеристики при линейном масштабировании сохранились.

• [1] В социально-экономической статистике понятие «индекс» имеет болееузкое и специальное значение. Это величина, показывающая, во сколькораз меняется значение переменной при переходе от одного момента времени к другому. В политической науке принято более широкое пониманиеиндекса — как переменной, получаемой в результате сведения в единыйпоказатель нескольких показателей.