Сравнение выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией

Проверка гипотезы строится таким образом, что выборочная дисперсия S² является несмещенной оценкой собственно генеральной дисперсии, которая определяется либо из предыдущего опыта, либо из неких теоретических соображений. Иными словами, имеем.

Например, по данным выборки п = 15 получена исправленная выборочная дисперсия S² = 7,1. Имеются сведения, что С7р = 8,2. В качестве критерия используется хи-квадрат.

Число степеней свободы определяется как п — 1; уровень значимости как обычно, например 0,05. Подставляя конкретные значения в формулу, имеем

Фактическое значение критерия меньше табличного. Следовательно, делается вывод, что нет основания отклонить нулевую гипотезу, иными словами, расхождение между гипотетической (неизвестной) генеральной дисперсией и выборочной незначимо.

Критерий хи-квадрат широко используется в статистике для решения разных задач: в корреляционном анализе для измерения тесноты связи; при сравнении генеральной и выборочной дисперсии; в качестве критерия согласованности эмпирических и теоретических рядов и др.

Рассмотрим еще одно применение критерия хи-квадрат при сравнении частот двух вариационных рядов одинаковой численности, или, иначе, двух эмпирических распределений. При этом возможны два случая: а) с одинаковой суммой частот и б) с разной суммой частот. Рассмотрим пример по оценке подготовки школьников к математической олимпиаде в двух городах: А и Б (табл. 8.8).

Таблица 8.8

Данные, но оценке подготовки школьников.

Оценка в баллах.	Количество школьников.
	в городе А, /а.	в городе Б, /б.
					1,8.
					1,28.
					2,65.
					8,67.
					1,82.
					0,29.
					16,51.

Критериальная статистика (случайная величина) имеет вид.

Подставляя полученные значения из таблицы, получаем %ф_акт = = 16,51. Проверим нуль-гипотезу о совпадении распределения школьников по полученным оценкам в двух городах. Количество степеней свободы определяется как п — 1. В нашем случае = 6 — 1 = = 5. По таблице распределения хи-квадрат находим х? _{0 05} ⁼ И>07 и %i; o, oi ⁼ 15,09. Вывод: нулевую гипотезу об отсутствии различий в подготовке школьников следует отклонить в пользу альтернативной. Различие значимо.

Кстати заметим, что если бы в этом примере мы решили применить критерий для разности двух средних величин.

то после соответствующих подсчетов мы бы получили х_А = 3,07, х_Б = 3,48, Од = 1,723, а| = 1,5 и соответственно Г₍|_)акт = 2,56. Табличное значение при односторонней проверке и, а = 0,01 Г_Табл = 2,33 (см. таблицу интеграла вероятностей), и вывод был бы тем же самым, различие в степени подготовки школьников городов, А и Б существенное, школьники города Б подготовлены лучше.