Основы эконометрики. 
Основы эконометрики

Задание 1

По данным об экономических результатах деятельности российских банков, по данным Банка России и Федеральной службы государственной статистики выполните следующие задания.

• 1. Проведите качественный анализ связей экономических переменных, выделив зависимую и независимую переменные.
• 2. Построить поле корреляции результата и фактора.
• 3. Рассчитайте параметры следующих функций:
  • · линейной;
  • · степенной;
  • · показательной;
  • · равносторонней гиперболы.
• 4. Оценить качество каждой модели через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.
• 5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости б=0,05.

Таблица.

Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Решение:

Для предварительного определения вида связи между указанными признаками построим корреляционное поле.

Получим следующий рисунок.

Рис.

По внешнему виду поля корреляции предположим, что зависимость между указанными показателями линейная, т. е. вида y = a + bx.

Для расчета параметров линейной регрессии составим таблицу.

Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу.

Таблица.

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные предыдущей таблицы.

= 4,96.

= 111 326,6 — 4,9 625 208,2 = -13 626,62.

Уравнение регрессии имеет вид: .

По полученному уравнению рассчитаем теоретические значения, а также значения (ошибка аппроксимации).

Тесноту линейной связи оценим с помощью коэффициента корреляции. Определим его по следующей формуле:

= 0,981.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

= 55,9%.

Качество построенной модели можно оценить как неудовлетворительное, так как превышает 10%.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 460,96.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1 = 1 и k2 = 20 — 2 = 18 составляет Fтабл = 4,41.

Поскольку, то уравнение регрессии нельзя признать статистически значимым.

Построение степенной модели парной регрессии.

Уравнение степенной модели имеет вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Произведем линеаризацию модели путем замены и. В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

С учетом введенных обозначений уравнение примет вид: Y = A + bX — линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

= 1,086.

= 10,748 — 1,0869,473 = 0,462.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

a = eA = e0,462 = 1,588.

Получим уравнение степенной модели регрессии: .

Определим индекс корреляции:

Используя данные таблицы, получим:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,9802 = 0,960 или 96%.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

= 74,2%.

Таблица.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 430,33.

Поскольку, то уравнение регрессии можно признать статистически значимым.

Построение показательной модели регрессии.

Уравнение показательной кривой: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: .

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = A + Bx.

С учетом введенных обозначений уравнение примет вид: Y = A + bX — линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

= 0,1 989.

= 10,748 — 0,198 925 208,2 = 10,247.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Таблица Определим индекс корреляции:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,6312 = 0,398 или 39,8%.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

105,6%.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 11,92.

Поскольку, то уравнение регрессии можно признать статистически значимым.

Построение обратной (гиперболической) модели регрессии.

Уравнение гиперболической функции: .

Произведем линеаризацию модели путем замены. В результате получим линейное уравнение .

= -1,37 109.

= 111 326,6 — 1,371 090,000108 = 2,59•105.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

.

Таблица Определим индекс корреляции:

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,4562= 0,208 или 20,8%.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

= 479,4%.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 4,73.

Поскольку, то уравнение регрессии по критерию Фишера можно признать статистически значимым.

Для выявления формы связи между указанными признаками были построены линейная, степенная, показательная и гиперболическая регрессии. Анализ показателей корреляции, а также оценка качества моделей с использованием средней ошибки аппроксимации позволил предположить, что из всех перечисленных моделей наиболее адекватной является линейная модель, поскольку для нее коэффициент корреляции принимает наибольшее значение R = 0,981, свидетельствующий о том, что между рассматриваемыми признаками существует тесная корреляционная связь.

Рассчитаем ожидаемое значение результата, если значение фактора увеличивается на 15% от его среднего уровня. Для прогноза используем линейную модель.

Прогнозное значение промышленного производства составит:

= 25 208,2 1,15 = 28 989,4 млн. р.,.

тогда прогнозное значение y составит:

= 130 069,6 млн. р.

Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

= 2,093 47 607,97 = 99 643,48.

Доверительный интервал прогноза:

= 130 069,6 99 643,48.

= 130 069,6 — 99 643,48 = 30 426,1 млн. р.

= 130 069,6 + 99 643,48 = 229 713,1 млн. р.

Выполненный прогноз для y является надежным.

Задание 2

По данным об экономических результатах деятельности российских банков выполнить следующие задания.

• 1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
• 2. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии.
• 3. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции.
• 4. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.
• 5. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.
• 6. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Таблица.

Решение:

Введем обозначения: у — работающие активы, x1 — привлеченные межбанковские кредиты (МБК), x2 — средства предприятий и организаций. Стоимость активов выразим в млрд. р. Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу.

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

= 403 523,688.

= 12,16.

= 15,78.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии воспользуемся формулами:

;

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

= -0,220.

= -0,158.

= -0,170.

Находим.

= -8443,73.

= -5148,23.

a = 212 609,65 — (-8443,73)1586- (-5148б23)30,8 = 502 897,32.

Таким образом, получаем следующее уравнение множественной регрессии:

.

Таблица.

Стандартизованные коэффициенты регрессии определим по формулам:

Получаем:

= -0,254;

= -0,1201.

Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

= -0,220; = -0,158; = -0,170.

Они указывают на слабую связь факторов х1 и x2 с результатом, а также на слабую связь фактора x1 с фактором х2.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

= -0,254.

= -0,203.

Коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где.

— определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

— определитель матрицы межфакторной корреляции.

= 0,8857.

= 1 — (-0,170)2 = 0,9710.

Коэффициент множественной корреляции.

= 0,296.

Коэффициент множественной корреляции указывает на слабую связь всего набора факторов с результатом.

Вычислим коэффициент множественной детерминации.

= 0,2962 = 0,088.

Коэффициент множественной детерминации указывает на то, что на 8,8% вариация результата y в модели обусловлена факторами x1 и x2.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает F-критерий Фишера:

В нашем случае фактическое значение F-критерия Фишера:

= 0,818.

Табличное значение F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы k1 = 2 (число факторов) и k2 = n — d — 1 = 20 — 2 — 1 = 17 найдем по таблице.

Fтабл (0,05; 2; 17) = 4,45.

Получили, что Fфакт < Fтабл, тогда статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи не подтверждается.

Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80% от их максимальных значений.

= 52 0,8 = 41,6.

= 62 0,8 = 49,6.

Подставим эти значения в уравнение множественной регрессии:

= 502 897,32 — 8443,7341,6 — 5148,2349,6 -103 714,07 млн руб.

Задание 3

По данным о средних потребительских ценах в РФ, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

• 1. Параметры линейного, экспоненциального, степенного, гиперболического трендов, описывающих динамику доли малых предприятий. Выберите из них наилучший, используя среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации.
• 2. Выбрать лучшую форму тренда и выполнить точечный прогноз на 2012, 2013 и 2014 годы.
• 3. Определить коэффициенты автокорреляции 1, 2, 3 и 4 порядков.
• 4. Построить автокорреляционной функцию временного ряда. Охарактеризовать структуру этого ряда.

Таблица.

Решение:

Для предварительного определения вида связи между указанными признаками построим корреляционное поле. Поместим на него линию тренда с помощью инструмента Excel Добавить линию тренда, отметив галочкой Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации.

Получим следующий рисунок:

Рис.

Аналогичным образом получим экспоненциальную и степенную модели тренда:

Рис.

Рис.

Для построения уравнения гиперболической модели произведем линеаризацию модели путем замены. В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

= -36,7.

= 28,42.

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

.

Определим индекс корреляции:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,6182 = 0,382.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

= 93,7%.

Таблица.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 7,42.

Поскольку, то уравнение гиперболического тренда можно признать статистически значимым.

Для расчета средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации линейной модели составим расчетную таблицу.

Таблица.

Средняя ошибка аппроксимации:

32,25%.

Определим индекс корреляции:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,9672 = 0,936.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 175,5.

Поскольку, то уравнение линейного тренда можно признать статистически значимым.

Для расчета средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации экспоненциальной модели составим расчетную таблицу.

Таблица.

Средняя ошибка аппроксимации:

6,86%.

Определим индекс корреляции:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,9872 = 0,974.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 449,5.

Поскольку, то уравнение экспоненциального тренда можно признать статистически значимым.

Для расчета средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации степенной модели составим расчетную таблицу.

Таблица.

Средняя ошибка аппроксимации:

17,56%.

Определим индекс корреляции:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= 0,9432 = 0,889.

Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия:

= 96,1.

Поскольку, то уравнение степенного тренда можно признать статистически значимым.

Все построенные модели (линейная, экспоненциальная, степенная и гиперболическая) хорошо аппроксимируют исходные данные. Анализ показателей корреляции, а также оценка качества моделей с использованием средней ошибки аппроксимации позволяет предположить, что из всех перечисленных моделей наиболее адекватной является экспоненциальная модель, поскольку для нее коэффициент детерминации принимает наибольшее значение R = 0,974.

Выполним по линейной модели точечный прогноз на 2012, 2013 и 2014 годы. Указанным годам соответствуют условные значения 22, 23 и 24. Подставив эти значения в уравнение экспоненциального тренда, получим:

• 2012 год: = 69,21 руб.
• 2013 год: = 85,21 руб.
• 2014 год: = 104,90 руб.

При наличии во временном ряду тенденции и циклических изменений значения предыдущего уровня ряда зависит от предыдущих. Зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью индекса корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Чтобы построить автокорреляционной функцию временного ряда, исходный ряд динамики дополним рядами из уровней этого ряда, сдвинутыми во времени.

Рассчитаем коэффициенты корреляции:

• 1-ого порядка для рядов хt и хt-1,
• 2-ого порядка для рядов хt и хt-2,
• 3-его порядка для рядов хt и хt-3,
• 4-ого порядка для рядов хt и хt-4,

Для расчета коэффициентов корреляции будем использовать функцию Excel КОРРЕЛ (). Получаем автокорреляционную функцию:

Таблица.

Как видим, наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции 1-го порядка, следовательно, данный временной ряд не содержит циклических колебаний.

аппроксимация гиперболический тренд регрессия.

• 1. Кремер Н. Ш. Эконометрика: учеб. для вузов. / Путко Б. А.; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2009 Гриф МО РФ Тихомиров, Н. П. Эконометрика: учебник / Н. П. Тихомиров, Е. Ю. Дорохина — М.: Изд-во «Экзамен», 2008. — 512 с.
• 2. Дорохина, Е. Ю. Сборник задач по эконометрике: учебное пособие / Е. Ю. Дорохина, Л. Ф. Преснякова, Н. П. Тихомиров. — М.: Изд-во «Экзамен», 2010. — 224 с.
• 3. Кремер, Н. Ш. Эконометрика: учебник для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009.-311 с.
• 4. Магнус, Я. Р. Эконометрика. Начальный курс: учеб. — 4-е изд. / Я. Р. Магнус, П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. — М.: Дело, 2008.-500 с.
• 5. Бородич, С. А. Эконометрика: учебное пособие. — Мн.: Новое знание, 2006. — 408 с.
• 6. Катышев, П. К. Сборник задач к начальному курсу эконометрики / П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. — М.: Дело, 2009.-408 с.