Закон всемирного тяготения и законы кеплера

На сегодняшний день надежно известны и изучены четыре типа физических сил, действующих в природе. Две из них называются силами ядерного взаимодействия (сильного и слабого) и работают только на расстояниях, сравнимых с размерами атомного ядра. Еще две можно назвать дальнодействующими, поскольку сфера их действия распространяется, строго говоря, на бесконечное расстояние, асимптотически стремясь к нулю. Это электромагнитная и гравитационная силы. Кроме того, на рубеже XX—XXI вв., возможно, обнаружена пятая, антигравитационная сила, ускоряющей расширение Вселенной на расстояниях, значительно превышающих размер Галактики. Происхождение этой силы связывают с существованием темной энергии. В масштабах Солнечной системы ее влиянием можно пренебречь.

Как известно, электромагнитная сила действует между телами, несущими электрический заряд. Однако подавляющее большинство объектов во Вселенной электрически нейтральны. В результате оказывается, что единственная известная сила, действующая на массивные небесные тела в пределах рассматриваемой нами Солнечной системы — это гравитационная сила, или сила тяготения (тяжести). Эта фундаментальная сила не может быть сведена к совокупности действий иных сил.

Закон тяготения был открыт и сформулирован Исааком Ньютоном. Вывод выражения для закона тяготения основан на наблюдениях движений пробных тел вблизи поверхности Земли и вдали от нее. В качестве удаленного от Земли пробного тела Ньютон использовал Луну. Его рассуждения выглядели так.

Эксперименты показывают, что на поверхности Земли (т. е. на расстоянии в один радиус Земли от ее центра) ускорение свободно падающего тела равно 9,81 м/с². Рассчитаем центростремительное ускорение Луны при ее движении вокруг Земли, предположив для простоты, что Луна движется по окружности радиусом R = 384 000 км (это около 60 радиусов Земли) с периодом Т = 27,3 сут. Тогда центростремительное ускорение Луны составит.

Ньютон обратил внимание на то, что Луна, находящаяся от центра Земли в 60 раз дальше, чем некое тело (например, яблоко) вблизи поверхности Земли, испытывает ускорение в 60 • 60 = 60² раз меньше, чем такое яблоко:

Ученый счел, что такая закономерность не случайна. Он предположил, что сила притяжения меняется обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли. Это предположение означало, что силу, которая удерживает Луну на ее орбите, можно рассматривать как силу притяжения Земли, ослабленную пропорционально отношению квадратов расстояний от центра Земли до Луны и от центра Земли до поверхности Земли.

Рассуждение Ньютона впоследствии было неоднократно подтверждено опытом. Это позволило сформулировать закон тяготения: любые две частицы материи взаимно притягивают друг друга, или тяготеют друг к другу, с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Математически закон записывается так:

Коэффициент G называется постоянной тяготения или гравитационной постоянной. Многократные прецизионные (очень точные) измерения ее значения дают в системе СИ

Можно заметить, что гравитационная постоянная — чрезвычайно малая величина. Поэтому сила тяготения, или гравитации, оказывается очень слабой. В результате практически невозможно обнаружить силу притяжения двух пробных тел друг к другу на поверхности Земли (например, двух студентов, сидящих рядом). Однако небесные тела (планеты, звезды, галактики) обладают гигантскими массами, по порядку величины многократно превышающими численное значение G. Поэтому оказывается, что, несмотря на свою слабость, именно сила тяготения является главной, ведущей, управляющей движениями всех небесных тел. Выяснилось, что траектории движений планет и их спутников, равно как и звезд, великолепно описываются законом тяготения. Поскольку наблюдения показали, что закон работает на огромных расстояниях от Земли (миллиарды световых лет), а значит, работал и миллиарды лет тому назад (свет от удаленных небесных тел только сейчас дошел до нас с этих расстояний), закон тяготения принято называть законом всемирного тяготения, подчеркивая его всеобщность и фундаментальность в нашей Вселенной.

Некоторые космологические модели предусматривают возможность медленного изменения гравитационной постоянной со временем. На сегодняшний день экспериментально такое изменение достоверно не обнаружено, что позволяет считать G константой.

С помощью закона всемирного тяготения удалось объяснить ряд наблюдаемых особенностей в движении Луны, явление прецессии оси вращения Земли, приливы, сжатие планет-гигантов у полюсов и движения в системах двойных звезд. Удалось, кроме того, «взвесить» Землю и другие планеты. Опираясь на закон тяготения Ньютона, французский математик и механик Пьер Лаплас еще в 1798 г. утверждал, что свет от достаточно массивной звезды не сможет от нее уходить, предвосхитив тем самым современные представления о «черных дырах».

Раздел астрономии, изучающий движение небесных тел под действием гравитационного поля (поля тяготения), называется небесной механикой. Среди задач небесной механики принято различать прямые и обратные. Задачи первого типа заключаются в определении действующих на тело сил по заданному характеру движения небесного тела. Обратные задачи, которые обычно рассматриваются в небесной механике как основные, заключаются в выяснении закономерностей движения тела, если действующие на него силы известны.

Если применить закон всемирного тяготения к рассмотрению параметров движения планеты в поле тяготения Солнца, можно получить так называемые законы Кеплера. С этой точки зрения законы Кеплера являются прямыми следствиями фундаментального закона физики — закона тяготения, и могут быть выведены аналитически.

Исторически же сложилось так, что полученные немецким ученым Иоганном Кеплером в начале XVII в. эмпирически (при анализе наблюдений действительного движения планет, в основном Марса) законы, наоборот, были использованы Ньютоном для выведения математической формы записи закона тяготения. Законы Кеплера, не будучи самостоятельными фундаментальными природными закономерностями, полезны при описании конкретных особенностей движений планет в гравитационном поле Солнца.

Первый закон Кеплера утверждает, что все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в общем фокусе которых находится Солнце.

Эллипсом называется плоская фигура, обладающая следующим свойством. Эллипс — это совокупность точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек, называемых фокусами, есть постоянная величина. Согласно первому закону Кеплера, в одном из фокусов находится Солнце, во втором фокусе ничего нет. Фокусы расположены на большой оси эллипса на одинаковых расстояниях от его центра — точки пересечения большой и малой осей эллипса. Большая ось эллиптической орбиты называется в астрономии линией апсид (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Эллиптическая орбита планеты:

Солнце находится в одном из фокусов, равноудаленных от центра эллипса О; большая полуось а равна полусумме максимального и минимального расстояний от планеты до Солнца, что обычно принимается за среднее расстояние между ними

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, то приближаясь к Солнцу, то удаляясь от него. Если расстояние между Солнцем и планетой является минимальным, мы говорим, что планета находится в перигелии своей орбиты (эта точка находится слева на рис. 2.1, греческая приставка «пери» означает «вблизи», корень «гелий» — от греческого «гелиос» (Солнце). Наиболее удаленную от Солнца точку орбиты принято называть афелием (справа на рис. 2.1, греческая приставка «апо» означает «вдали»).

Форма эллипса описывается степенью его вытянутости, или мерой отличия от окружности. Выразить вытянутость эллипса можно отношением малой и большой осей эллипса либо с помощью величины, называемой эксцентриситетом. Эксцентриситет эллипса — это отношение расстояния от центра эллипса до одного из фокусов к большой полуоси орбиты.

Если фокусы эллипса сдвигать друг к другу, эксцентриситет будет уменьшаться. Когда фокусы сольются в центре симметрии эллипса, последний превратится в окружность, а эксцентриситет обратится в ноль. Таким образом, можно утверждать, что круговые орбиты также допускаются первым законом Кеплера, поскольку являются его частным случаем.

Расстояние планеты от Солнца в перигелии равно в афелии —.

Большая полуось орбиты.

принимается за среднее расстояние планеты от Солнца.

Орбиты планет Солнечной системы отличаются небольшими эксцентриситетами .

Таблица 2. 1

Значения эксцентриситетов орбит планет Солнечной системы.

Как видно из таблицы, наиболее отличаются от окружностей орбиты Меркурия и Марса, ближе всего к круговой — орбита Венеры. При среднем расстоянии от Солнца до Земли 149,6 млн км за счет ненулевого эксцентриситета ее орбиты расстояние до Солнца то уменьшается примерно на 2,5 млн км в перигелии, который наша планета проходит в начале января, то увеличивается на 2,5 млн км по сравнению со средним значением спустя полгода, в начале июля, во время прохождения точки афелия.

Первый закон Кеплера позволил существенно улучшить точность расчетов положений планет на небе по сравнению с первым вариантом системы Коперника, в рамках которой все орбиты планет считались окружностями.

Первому закону Кеплера можно придать аналитическое выражение в виде уравнения кривой второго порядка, если в плоскости орбиты планеты ввести полярные координаты с полюсом в центре Солнца:

Здесь г — радиус-вектор планеты; ср — полярный угол; е — эксцентриситет, Р — параметр кривой второго порядка, выражаемый в случае эллипса через малую (Ь) и большую (а) полуоси эллипса:

Ньютон показал, что первый закон Кеплера может быть обобщен. Выяснилось, что тело в поле тяготения Солнца может двигаться не только по эллипсу. В зависимости от скорости, в числе возможных траекторий могут быть окружность (которая, как указано выше, представляет собой частный случай эллипса с нулевым эксцентриситетом), эллипсы с разными значениями эксцентриситета, парабола и гиперболы. Поскольку парабола и гиперболы — это незамкнутые кривые, то движение по ветви параболы или гиперболы означает преодоление силы тяготения Солнца и возможность ухода из Солнечной системы. Вид кривой определяется скоростью движения.

Рассмотрим простейший случай движения планеты с массой т со скоростью V по окружности на расстоянии R от Солнца. Массу Солнца обозначим М. На планету действует сила тяготения Солнца.

Если планета, по условию, движется по круговой орбите, центростремительное ускорение запишется в виде.

Согласно третьему закону Ньютона, всегда можно записать, что сила, действующая на тело, равна произведению его массы на ускорение.

Поскольку единственная сила, которая действует на планету, это и есть сила тяготения, а ее ускорение — это центростремительное ускорение, можно записать

Отсюда можно выразить выражение для величины круговой скорости движения планеты:

Как видно, круговая скорость для планеты зависит только от расстояния до Солнца R. Масса Солнца М = 1,989 • 10³⁰ кг и гравитационная постоянная G — константы. Для R = 1 а. е. круговая скорость V = 29,8 км/с. Это и есть средняя скорость движения Земли по орбите.

Существенно, что в формуле (2.3) отсутствует масса планеты т. Это означает, что скорость движения планеты, если она находится на круговой орбите, от массы планеты не зависит:

Из формулы (2.3) видно, что скорость планеты зависит от расстояния до Солнца. Нетрудно видеть, что наибольшая средняя скорость движения планеты — у Меркурия (47,9 км/с), наименьшая — у Нептуна (5,4 км/с). Удаленные объекты пояса Койпера движутся с еще более низкими скоростями.

Аналогичные рассуждения можно применить не только к Солнцу, но и собственно к планетам Солнечной системы. Круговая, или первая космическая, скорость искусственного спутника Земли (ИСЗ) V₁ при значении R, равном радиусу Земли (округленно 6378 км) и массе М₃ Земли (равной 5,9742 • 10²⁴ кг) будет равна 7,91 км/с. Эта скорость позволяет спутнику вблизи поверхности Земли двигаться вокруг планеты и не падать на ее поверхность. На самом деле вблизи поверхности Земли создать спутник не получится — из-за трения об атмосферный воздух спутник быстро потеряет энергию и упадет. Поэтому спутники запускаются на орбиты, расположенные за пределами атмосферы.

Если увеличить R, например, до радиуса орбиты Луны (среднее значение равно 384 400 км), круговая скорость существенно уменьшится и будет равна примерно 1 км/с. С такой скоростью, позволяющей ей не падать на Землю и двигаться по слабоэллиптической орбите, Луна обращается вокруг нашей планеты.

Что будет с телом, если его скорость будет постепенно увеличиваться по сравнению с первой космической? Круговая орбита превратится в эллипс, причем с изменением скорости будет меняться эксцентриситет орбиты. Меняя скорость, мы получим целое семейство разных эллипсов, все более вытянутых.

Может ли спутник преодолеть притяжение Земли и навсегда покинуть ее окрестности? Для этого нужно, чтобы кинетическая энергия движения спутника превысила гравитационную энергию связи спутника с Землей. Скорость V₂, при которой кинетическая энергия равна потенциальной (в данном случае гравитационной), можно определить из равенства энергий:

откуда.

Таким образом, при значении скорости V₂ = л[2-У₁ = 72−7,91 км/с = = 11,2 км/с вблизи поверхности Земли вытянутый эллипс «порвется» и превратится в разомкнутую кривую — параболу. Эксцентриситет е при этом будет равен 1. Это означает, что тело (например, космический аппарат) уже не будет двигаться по эллипсу вокруг Земли, а преодолеет ее притяжение и покинет окрестности нашей планеты навсегда. В этом случае космический аппарат перестает считаться спутником, и по отношению к нему применяются другие термины — межпланетный зонд, автоматическая межпланетная станция и т. д.

Вторая космическая скорость V₂ — минимальная скорость вблизи поверхности Земли, которая позволит космическому аппарату (без учета сопротивления земной атмосферы) отправиться в межпланетное путешествие и уйти от Земли к другим планетам. При дальнейшем увеличении скорости парабола превратится в гиперболу (е > 1). При этом ветви гиперболы будут все больше раскрываться, в пределе приближаясь к прямой (рис. 2.2).

Любопытно, что космический аппарат, «убежав» от Земли, останется в поле тяготения тела большей массы — Солнца. Достигнув второй космической скорости относительно Земли, стартовав в направлении движения Земли, он не преодолеет второй космической скорости относительно Солнца на расстоянии R = 1 а. е. равной 72−29,8 км/с = 42,1 км/с. Можно достичь второй космической скорости относительно Солнца и добиться преодоления его тяготения, если к средней скорости движения Земли добавить дополнительную скорость космического аппарата 12,3 км/с в направлении движения Земли и на таком удалении от нее, чтобы можно было пренебречь ее притяжением. Тогда суммарная скорость аппарата относительно Солнца составит 29,8 км/с + + 12,3 км/с = 42,1 км/с.

Рис. 2.2. Форма траектории снаряда (космического аппарата) в поле тяготения Земли зависит от скорости:

V_x — первая космическая (круговая) скорость;

V₂— вторая космическая (параболическая) скорость; промежуточные скорости дают набор эллиптических траекторий

Того же результата можно достичь энергетически невыгодным способом: запустить аппарат в сторону, противоположную скорости Земли. Тогда аппарат придется вдали от Земли разгонять до скорости 71,9 км/с, чтобы, компенсировав скорость Земли 29,8 км/с, достичь скорости 42,1 км/с.

Возвращаясь к первому закону Кеплера, укажем, что Ньютону удалось показать: вид траектории тела в поле тяготения другого тела может представлять собой один из типов так называемых конических сечений: орбита может быть окружностью, эллипсом, параболой и гиперболой. Конкретные параметры орбиты тела зависят от скорости его движения.

Второй закон Кеплера характеризует скорость орбитального движения планеты: радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади.

Этот закон может быть выражен либо в дифференциальной либо в интегральной форме.

Здесь S — «ометаемая» радиусом-вектором площадь за рассматриваемый промежуток времени; с — константа, которая называется постоян;

ds

ная площадей (рис. 2.3);—секториальная скорость.

dt

Рис. 2.3. Иллюстрация второго закона Кеплера

Дифференциальная форма этого закона в полярных координатах имеет простой вид:

Смысл этого закона состоит в том, что планета движется вокруг Солнца неравномерно: вблизи перигелия быстрее, вблизи афелия — медленнее. Это хорошо видно из формулы (2.6): время, за которое планета преодолевает определенный полярный угол, прямо пропорционально квадрату расстояния до Солнца (радиус-вектора планеты). Так, например, Земля быстрее всего движется вблизи точки перигелия (в начале января), медленнее всего — вблизи точки афелия своей орбиты (в начале июля).

Скорость движения планеты в перигелии орбиты в афелии —.

При этом V_c = -yJVq • Vq — средняя, или круговая, скорость планеты при расстоянии до Солнца, равном большой полуоси орбиты а.

Нетрудно видеть, что при движении по круговой орбите скорость движения постоянна. Различие в скоростях в точках перигелия Р и афелия Л нарастает по мере увеличения эксцентриситета. Соответственно, наиболее велика эта разница для планеты с самой вытянутой орбитой — Меркурия: при средней скорости У_с = 48 км/с в перигелии орбиты эта планета движется со скоростью V_q = 54 км/с, что почти вдвое превышает среднюю скорость движения Земли.

Третий закон Кеплера связывает характеристики движения различных планет: квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит

Оказывается, на данном расстоянии а от Солнца период обращения планеты Т вокруг Солнца может быть не каким угодно, а лишь вполне определенным.

Большие полуоси орбит планет принято выражать в а. е., другими словами, в единицах среднего расстояния от Солнца до Земли, а периоды обращения планет — в земных годах, т. е. для Земли а = 1 и Т = 1. В таких единицах измерения для любой планеты выражение (2.9) принимает простую форму:

Исследования, выполненные Ньютоном уже на базе полученного им выражения для закона всемирного тяготения, показали, что приведенная выше запись третьего закона Кеплера является упрощением. Строгая математическая формулировка этого закона выглядит так:

Здесь М — масса Солнца, т — масса планеты.

Еще раз следует подчеркнуть, что законы Кеплера, будучи следствиями закона тяготения, получены Кеплером эмпирически, как обобщения наблюдательных данных.

Набор приведенных в этой лекции соотношений позволяет определять основные параметры траекторий небесных тел в Солнечной системе (и, конечно, не только в ней). Подчиняясь закону всемирного тяготения и его следствиям — законам Кеплера, движутся планеты, их спутники, астероиды и все остальные тела Солнечной системы. Поскольку все тела гравитационно влияют друг на друга, реальные траектории движения оказываются значительно более сложными, чем описанные выше конические сечения. На параметры орбиты каждой планеты влияет (возмущает их) тяготение всех других планет. Так, например, возмущения орбиты Урана, порожденные тяготением неизвестной восьмой планеты, были зафиксированы в начале XIX в. Учет этих возмущений позволил французскому астроному Урбену Леверье рассчитать положение этой планеты, что и привело к открытию Нептуна в 1846 г. Иоганном Готфридом Галле.

Астероиды могут существенно изменять параметры своих орбит из-за возмущений со стороны близкого к ним и очень массивного Юпитера, а порою и со стороны других астероидов. Двигающиеся в Главном поясе астероидов объекты нередко сближаются друг с другом, и учесть возмущения от многих объектов сходных масс сложно. Известны случаи, когда параметры орбиты астероида существенно изменялись на протяжении одного оборота вокруг Солнца. Расчеты возмущений орбит весьма трудоемки. Но в настоящее время такие расчеты успешно реализуются на мощных компьютерах.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Почему двое студентов, находящихся рядом, не ощущают гравитационного притяжения друг к другу?
• 2. Какие есть основания считать закон тяготения «всемирным» (действующим во всей Вселенной)?
• 3. Дать словесные формулировки трех законов Кеплера.
• 4. Почему Луна не падает на Землю под влиянием закона Всемирного тяготения?
• 5. Есть сведения, что скорости отдельных метеороидов, входящих в атмосферу Земли, превышают 72 км/с. Что можно сказать об их природе?
• 6. Известно, что средние скорости движения планет тем меньше, чем дальше планета находится от Солнца. Почему?

• 7. Эксцентриситет орбиты Земли составляет примерно 0,017. Используя материал из лекции, определите разность скоростей Земли в перигелии и афелии ее орбиты. Какова максимальная скорость движения Земли вокруг Солнца и в какие дни года это происходит?
• 8. Во сколько раз средняя скорость движения Земли превосходит среднюю скорость движения Плутона (большая полуось орбиты Плутона примерно равна 40 а. е.)? Считать орбиты близкими к круговым.
• 9. С какой минимальной скоростью надо стартовать с Марса, чтобы получить возможность долететь до Земли? Большая полуось орбиты Марса равна 1,52 а. е.