Разновидности преобразования Фурье

Непрерывное преобразование Фурье

Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию f (t) как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами щ и комплексными амплитудами.

. Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

где щ = 2рн.

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье.

Прямое преобразование:

Обратное преобразование:

где:

— количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;

— измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами, которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;

— комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;

— обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;

— фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);

— индекс частоты. Частота k-го сигнала равна.

где — период времени, в течение которого брались входные данные.

Дискретный сигнал и модуль его спектра.