Решение задач с помощью системы MATLAB

Система MATLAB в настоящее время является мощным и универсальным средством решения задач, возникающих в различных областях человеческой деятельности. Спектр проблем, решение которых может быть осуществлено при помощи MATLAB, охватывает: матричный анализ, обработку сигналов и изображений, задачи математической физики, оптимизационные задачи, обработку и визуализацию данных, нейронные сети, нечеткую логику и многие другие. Специализированные средства собраны в пакеты программ, называемые ToolBox и могут быть выбраны при установке MATLAB по желанию пользователя. В состав многих ToolBox входят приложения с графическим интерфейсом, которые обеспечивают быстрый и наглядный доступ к основным функциям.

Обширная и удобная справочная система MATLAB способна удовлетворить потребности как начинающего, так и опытного пользователя. Часто оказываются полезными прилагаемые к MATLAB электронные справочники в формате PDF, которые не только дублируют справочную систему MATLAB, но и содержат теоретические сведения и математическую базу, необходимые для более осознанного использования описываемых программных средств.

Важным достоинством MATLAB является открытость кода, что дает возможность опытным пользователям при необходимости изменять запрограммированные алгоритмы. Впрочем, разнообразие набора функций MATLAB допускает решение большинства задач без предварительных модификаций.

MATLAB имеет достаточно простой и эффективный встроенный язык программирования, позволяющий пользователю реализовывать собственные алгоритмы. Простота языка программирования компенсируется огромным множеством функций MATLAB. Такое сочетание позволяет достаточно быстро разрабатывать эффективные программы.

MATLAB является интерпретатором, т. е. каждая строка программы преобразуется в код и затем выполняется. Разумеется, это существенно увеличивает время работы алгоритмов, содержащих циклически повторяемые действия. Для повышения производительности вычислений в составе MATLAB имеется дополнительный модуль Matlab Compiler, который обеспечивает компиляцию программ, написанных на языке MATLAB. Объектно-ориентированный подход, заложенный в основу MATLAB, обеспечивает современную эффективную технологию программирования.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что начинающий пользователь MATLAB может в процессе работы совершенствовать свои знания как в области моделирования и численных методов, так и в области программирования и визуализации данных, что полностью отвечает целям данного учебного пособия.

Встроенные математические функции MATLAB позволяют находить значения различных выражений. Команды для вычисления выражений имеют вид, свойственный всем языкам программирования высокого уровня.

Полный перечень встроенных математических функций можно найти в справочной системе MATLAB.

При работе с командной строкой следует помнить следующие особенности:

• — при наборе выражения без символа «;» в конце результат вычислений запишется в оперативную память в виде значения соответствующей переменной и будет выведен на экран, в противном случае результат вычислений запишется в оперативную память, но на экран выводиться не будет;
• — при наборе выражения с левой и правой частями, разделенными знаком равенства, результат вычислений запишется в переменную левой части выражения. Если выражение не содержит левой части, то результат запишется в специальную переменную ans и будет храниться в ней до момента записи в данную переменную результата вычисления следующего выражения.

При вычислении выражения, А = 32 * 25; результат был сохранен в переменной, А и выведен на экран, поскольку в конце выражения отсутствовал символ «;».

При вычислении выражения В = ехр; результат был сохранен в переменной В, но не выведен на экран, поскольку в конце выражения присутствовал символ «;». Для вывода результата на экран в командной строке было введено имя переменной В и нажата клавиша .

При вводе выражений, А — В и А/В использовались значения переменных, найденные в предыдущих операциях, а результат вычисления выражения был помещен по умолчанию в специальную переменную ans и выведен на экран. Переменная ans также может использоваться в процессе вычислений, как это показано в примере ans + ans⁰.5.При этом результат вычислений вновь помещается в переменную ans.

Следует помнить, что MATLAB различает прописные и строчные символы в именах переменных, функций и команд.

По умолчанию результаты вычислений выводятся на экран с округлением до четвертого знака после десятичной точки в так называемом формате Short.

Если при выводе слишком большого или слишком малого числа результат не укладывается в формат Short, вывод осуществляется в экспоненциальной форме. Например, результат 0.33 333 будет выведен на экран в виде 3.3333е-6, что эквивалентно 3.3333Ч10−6.

При необходимости результат вычислений может быть выведен в ином формате. Для этого следует активизировать команду Preferences меню File.

На экране появится диалоговое окно Preferences, и позволяющее выбрать требуемый формат из списка.

Например, при выборе формата Long результаты всех последующих вычислений будут выводиться с 14 знаками после десятичной точки, а числа, не укладывающиеся в этот формат, будут выводиться в экспоненциальной форме (формат Long E).

Ввод матриц в командном окне может быть осуществлен одним из следующих способов:

• — поэлементный ввод матриц осуществляется в виде последовательности элементов, заключенной в квадратные скобки […]. Разделителями элементов в строке матрицы являются пробелы, разделителями строк матрицы являются символы «;»;
• — ввод матриц в виде последовательности монотонно возрастающих или убывающих значений элементов;
• — ввод матриц специального вида (матрицы с нулевыми элементами, матрицы с единичными элементами и др.

При вводе матриц в виде последовательности монотонно возрастающих или убывающих значений элементов использовать квадратные скобки не обязательно. Ввод осуществляется в следующей последовательности: начальное значение, двоеточие, приращение, двоеточие, конечное значение. Если приращение равно 1, последовательность ввода может быть упрощена: начальное значение, двоеточие, конечное значение.

Приведенные выше способы ввода матриц в командном окне могут комбинироваться в любых сочетаниях.

Выражения, содержащие операции с матрицами (сложение, вычитание, умножение, деление матриц), вводятся аналогично арифметическим операциям с числами, но выполняются по соответствующим правилам матричных преобразований.

Выражения, содержащие операции с матрицами (сложение, вычитание, умножение, деление матриц), вводятся аналогично арифметическим операциям с числами, но выполняются по соответствующим правилам матричных преобразований.

Реализация алгоритмов в виде m-файлов. В среде программирования системы MATLAB исходные файлы про грамм по умолчанию сохраняются с расширением *.m. Поэтому их принято называть m-файлами.

Реализацию алгоритмов решения задач математической физики в MATLAB в виде m-файлов, не содержащих функций, созданных пользователем, покажем на примере решения уравнения Пуассона, к решению которого сводятся многие задачи математической физики, например задачи о стационарном распределении температуры в твердом теле, задачи диффузии, задачи о распределении электростатического поля в непроводящей среде при наличии электрических зарядов и многие другие.

Ниже приведен один из вариантов m-файла для численного решения уравнения с граничными условиями на координатной сетке.

В MATLAB строки, начинающиеся символом «%», являются комментариями.

При запуске m-файла на выполнение в оперативной памяти компьютера могут храниться результаты предыдущих вычислений, причем имена переменных и массивов, значения которых хранятся в оперативной памяти, в принципе могут совпасть с именами переменных или матриц запускаемого m-файла, что при определенном стечении обстоятельств может привести к неверному результату производимых вычислений. Это возможно, поскольку все переменные и массивы, используемые в m-файлах, по умолчанию являются глобальными. Во избежание данных нежелательных моментов, первые три команды m-файла производят очистку оперативной памяти от результатов предыдущих вычислений, закрывают все графические окна (если таковые были ранее открыты) и очищают экран от ранее выведенной информации.

В данном варианте программы предусмотрен ввод исходных данных с клавиатуры с помощью функции input. Данная функция выводит на экран строку символов, являющуюся ее входным аргументом, позволяет пользователю ввести с клавиатуры произвольный набор символов и после нажатия клавиши записывает введенные символы в специальную переменную ans, о которой упоминалось выше. Далее в m-файле предусмотрен оператор присвоения значения переменной ans другой переменной с определенным именем.

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), заданной матрицей коэффициентов, а и вектором свободных членов b и полученной в результате дискретизации уравнения Пуассона на равномерной координатной сетке х, производится путем деления вектора-строки b на транспонированную матрицу а. Операция транспонирования матрицы обозначается символом апострофа после имени матрицы.

Функция plot обеспечивает вывод результатов вычислений в виде графиков функций одной переменной. Первым аргументом функции plot является вектор, определяющий значения по оси абсцисс, а вторым — вектор, определяющий значения по оси ординат. Таких пар аргументов в функции plot может быть несколько. Соответственно в этом случае в графическом окне будет выведено несколько графиков, как в приведенном примере. Кроме того, функция plot может содержать (и в приведенном примере содержит) дополнительные аргументы, управляющие цветом, символьным сопровождением и шириной линий графиков.

Функции xlabel, ylabel позволяют вывести на экран наименования осей координат. Функция grid позволяет включить или отключить отображение координатной сетки на графике (при помощи параметров on и off соответственно).

Для создания m-файла необходимо активизировать команду New меню File и выбрать в ниспадающем меню команду M-file. При этом на экране появится рабочее окно встроенного текстового редактора MATLAB, в котором следует набрать приведенный выше текст программы и сохранить его с произвольным именем. Расширение *.m будет присвоено файлу по умолчанию. Также по умолчанию файл будет сохранен в подкаталоге WORK корневого каталога MATLAB. При задании имени файла следует использовать только буквы латинского алфавита.

Для вызова m-файла на выполнение необходимо в командном окне MATLAB набрать имя файла без расширения и нажать клавишу .

Например, при запуске m-файла и вводе исходных данных.

x0=0;

xn=5;

n=60;

f='2*sin (x.^2)+cos (x.^2)';

v1=1;

g1=0;

v2=1;

g2=-0.5;

на экране в отдельных графических окнах появятся график функции правой части уравнения Пуассона и график искомой функции. Точками на графиках будет отображаться координатная сетка.

Результаты вычисляются и выводятся в нормированном (безразмерном) виде.

При необходимости возможен вывод результатов решения волнового уравнения в реальных физических единицах. Для этого необходимо входные параметры функции surf, выводящей графики на экран, почленно умножить на нормирующие коэффициенты и добавить соответствующие единицы измерения в строковых аргументах функций xlabel, ylabel, zlabel.

Для построения трехмерных графиков в частных производных в вычислительной системе MatLab имеется очень удобная система pdetool. Вызвать окно этой системы можно, набрав данную опцию или задав в командном окне область решения конкретной задачи командой pderect ([x₁ x₂ y₁ y₂]) — построение прямоугольника {x₁xx₂, y₁yy₂}, pdecirc (x₀, y₀, R) — построение круга с центром (x₀, y₀) и радиусом R.

После набора в командном окне одной из данных опций на экране появляется окно.

В качестве примера работы данной системы рассмотрим решение следующей задачи. Найти решение уравнения Лапласа.

Du = u_хх + u_уу= 0.

в прямоугольнике.

D = {(x, y)| 0xa, 0yb},.

удовлетворяющее следующим краевым условиям:

.

Для определенности выберем значение параметров а = b = a = 1.

Опцией pderect задаем прямоугольник с координатами ([0 1 0 1]). Открывается окно PDE Toolbox, в котором заданный треугольник выделен серым цветом. Можно также задавать область решения непосредственно в данном окне в виде прямоугольника, круга, эллипса и многоугольника, выбирая соответствующие кнопки слева в нижнем ряду панели меню. В нижней части окна при различных действиях появляется краткая информация о данном действии.

MatLab решает двумерные задачи, используя метод конечных элементов. При этом расчетная область (в данном случае прямоугольник) разбивается на конечное число элементарных подмножеств стандартной формы (которые и называются конечными элементами). В системе MatLab конечные элементы представляют собой криволинейные треугольники. Чтобы задать первоначальное разбиение области решения на конечные элементы в окне PDE Toolbox достаточно в меню окна нажать кнопку D. Сделать исходное разбиение более мелким можно при помощи кнопки, стоящей рядом справа. После задания исходного разбиения переходим к заданию граничных условий с помощью кнопки ¶W. При этом границы области решения выделяются однонаправленными стрелками красного цвета. Щелчком левой кнопки мыши на каждой из стрелок открываем окно задания граничных условий Boundary Condition. Если на данном отрезке границы заданы условия Дирихле, этот отрезок выделяется красным цветом, условия Ньюмена — синим цветом, смешанные условия — зеленым цветом. Таким образом, после задания граничных условий мы по цвету граничных отрезков сразу можем определить тип условия, заданного на конкретном отрезке границы. Для нашей задачи на левой и правой границах прямоугольника заданы условия Дирихле с h = 1 и r = 1 и у, соответственно. На нижней и верхней границах заданы условия Ньюмана С*g = q = 0.

В верхней части окна при этом отображается вид граничного условия.

После задания граничных условий задаем вид ДУ с помощью кнопки PDE. В открывшемся окне PDE Specification в данном случае выбираем опцию Еlliptic, а значения коэффициентов — с = 1, a = f = 0. Закрыв окно, нажимаем кнопку решателя =. Полученное решение отображается в исходном прямоугольнике в виде различно окрашенных областей. Цвет и интенсивность окраски соответствуют различным числовым значениям полученной функции.

Чтобы увидеть трехмерный график полученного решения, нажимаем кнопку справа от кнопки решателя. Открывается новое окно с трехмерным графиком полученного решения.

Зафиксировав стрелку курсора на области графика и нажав левую кнопку мыши, полученную трехмерную фигуру можно вращать, добиваясь положения, при котором свойства решения видны наиболее отчетливо.

Граничные условия при использовании данной опции могут быть представлены в виде функции переменных х и у, однако если эта функция задана в виде степенного ряда с нелинейными членами, задание граничных условий становится более сложным. Это связано с тем, что все данные MatLab воспринимает как матрицы, поэтому возведение матрицы-столбца в степень воспринимается как некорректная задача. Чтобы этого избежать, необходимо степенные члены выражения задавать с точкой, что означает поэлементное действие.

В качестве примера рассмотрим предыдущую задачу с граничными условиями вида.

.

При решении нелинейное граничное условие задаем в виде y-y.^2. График полученного решения показан на рис. 6.

С помощью пакета MatLab можно решать сингулярные задачи. Пример такой задачи можно увидеть, набрав в командном окне pdedemo7. В данном примере решается уравнение Пуассона.

.

Точное решение данного уравнения.

.

Программа определяет область решения в виде круга единичного радиуса с нулевыми условиями на границе и точечным источником в центре круга. Точечный источник задан в виде dфункции, которая аппроксимируется следующим образом: в пределах криволинейного треугольника, содержащего начало координат, функция принимается равной 1/S, где S — площадь треугольника; во всех остальных фрагментах функция принимается равной нулю.