Математическая модель системы в переменных пространства состояний

— 10 ;

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ В ПЕРЕМЕННЫХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Математическая модель системы в переменных пространства состояний имеет вид.

(2.1.1).

(2.1.2).

где мерный вектор параметров состояний; мерный вектор управляющих воздействий; мерный вектор возмущающих воздействий; lмерный вектор выходов; А — матрица состояний системы размерности; В — матрица управлений размерности; Г — матрица возмущений размерности; С — матрица выходов размерности ln; D — матрица компенсаций (обходов) размерности lm.

Решение векторного дифференциального уравнения (2.1.1) имеет следующий вид:

(2.1.3).

где — экспоненциал матрицы А.

Подставляя выражение (2.1.3) в формулу (2.1.2), получаем интегральное уравнение движения системы в переменных «вход — выход».

Рассмотрение движения системы в переменных пространства состояний связано с трудностью решения дифференциальных уравнений n-го порядка, описывающих движение системы в переменных «вход — выход», и с хорошо разработанными методами решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.

2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2.2.1

Определить переходные процессы в системе.

(2.2.1).

(2.2.2).

под действием ступенчатых воздействий по каналам управления.

и возмущения .

Решение

В соответствии с выражениями (2.1.2), (2.1.3) запишем уравнение движения системы в интегральной форме.

. (2.2.3).

Учитывая, что u (t)=u*1(t)=u, r (t)=r*1(t)=r и t₀=0, представим выражение (2.2.3) в виде.

. (2.2.4).

Для нахождения экспоненциала матрицы, А определим корни характеристического уравнения, то есть.

и .

Так как корни различные действительные и матрица, А диагональная, то ее экспоненциал равен.

. (2.2.5).

Подставляя выражения (2.2.5) в формулу (2.2.4) и последовательно проводя преобразования, получаем.

=.

.

Следовательно, уравнение движения рассматриваемой системы в переменных «вход — выход» имеет вид:

.

УСТОЙЧИВОСТЬ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Устойчивость или неустойчивость линейной многомерной системы (2.1.1) определяется ее свободным движением (), которое характеризуется собственными числами матрицы А, определяемыми из характеристического уравнения.

(3.1.1).

Линейная система (2.1.1) устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные части собственных (характеристических) чисел л_j=л_j(A) (j=1,…, n) имеют неположительные значения, т. е. Reл_j. Если Reл_j<0, то система асимптотически устойчива.

Характеристическое уравнение (3.1.1) можно записать в виде.

?_??ⁿ??_??^n-1???_n????_n??0. (3.1.2).

Условия устойчивости для системы n-го порядка записываются в виде определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения (3.1.2).

.

Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при б₀>0 были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Д_I>0 (i=l,…, n). Положительность последнего определителя Гурвица Д_n=б_nД_n-1 (3.1.3).

при Д_n-1>0 сводится к положительности свободного члена б_n характеристического уравнения.

3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 3.2.1

Определить устойчивость и характер свободного движения динамической системы, заданной в пространстве состояний векторными уравнениями.

(3.2.1).

. (3.2.2).

Решение.

Запишем для системы (3.2.1) характеристическое уравнение (3.1.1).

(3.2.3).

решение которого дает следующие корни:

.

Рассматриваемая динамическая система является устойчивой. Ее свободное движение носит апериодический сходящийся характер, так как вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные.

Задача 3.2.2

Определить устойчивость динамической системы, заданной в пространстве состояний векторно-матричными уравнениями.

, (3.2.4).

. (3.2.5).

Решение.

Запишем для системы (3.2.4) характеристическое уравнение (3.1.1).

. (3.2.6).

Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим следующее характеристическое уравнение:

. (3.2.7).

Устойчивость системы будем определять на основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица, составив для этого по уравнению (3.2.7) матрицу Гурвица.

. (3.2.8).

Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при положительности коэффициента при старшей степени (в нашем случае коэффициент при л³ равен 1) были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Д_i>0 (i=1,2,3).

.

В соответствии с вышеизложенным находим, что свободный член характеристического уравнения (3.2.7) равный 54 — положительный.

Следовательно, система (3.2.4) является устойчивой.

УПРАВЛЯЕМОСТЬ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по состояниям определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости L_c размерности равен n, то есть.

rankn, (4.1.1).

где.

. (4.1.2).

Если rank<n, то система будет частично управляемой, а при rank=0 — полностью неуправляемой.

Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по выходам (критерий Калмана): система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости размерности равен l то есть.

rank=l, (4.1.3).

где.

. (4.1.4).

Если rank<l, то система будет частично управляемой по выходам, а при rank=0 — полностью неуправляемой.

Показатель степени n в выражениях (4.1.2), (4.1.4) соответствует размерности вектора состояний.

4.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 4.2.1

Определить управляемость динамической системы по состояниям, заданной векторными уравнениями.

.

(4.2.1).

. (4.2.2).

Решение.

В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2.

.

Найдем произведение матриц.

.

Следовательно, матрица управляемости имеет вид.

.

и ее ранг rank2, то есть настоящая система полностью управляема по состояниям.

Задача 4.2.2

Определить управляемость по выходам динамической системы, заданной векторными уравнениями.

.

.

Решение.

В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2.

.

Найдем произведение матриц.

.

.

Следовательно, матрица управляемости имеет вид.

.

и ее ранг rank=2, то есть настоящая система полностью управляема по выходам.

5. НАБЛЮДАЕМОСТЬ

5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Наблюдаемость системы (2.1.1), (2.1.2) определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет вполне наблюдаемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости L₀ размерности равен n, то есть.

rankn, (5.1.1).

где.

. (5.1.2).

Если rank<n, то система будет не вполне наблюдаемой, а при rank=0 — полностью ненаблюдаемой.

5.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 5.2.1

Определить наблюдаемость динамической системы, заданной векторными уравнениями.

.

Решение.

В соответствии с выражением (5.1.2) запишем матрицу наблюдаемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2.

.

Найдем произведение матриц.

.

Следовательно, матрица наблюдаемости имеет вид.

.

и ее ранг rank2, то есть настоящая система полностью наблюдаема.