Математические методы и модели в решении задач по экономике
Составить модель задачи и на примере ее решения проиллюстрировать свойства двойственных оценок. Рассмотреть задачу по определению оптимального плана выпуска продукции, максимизирующего выручку при известных нормах расхода ресурсов, объемах ресурсов и ценах реализации продукции. Рассчитать равновесные цены при увеличении зарплаты по всем отраслям на 10% (считать доли зарплаты в добавленной… Читать ещё >
Математические методы и модели в решении задач по экономике (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Хабаровская государственная академия экономики и права»
Кафедра математики и математических методов в экономике Контрольная работа По дисциплине: «Математика»
Выполнила:
Лабюк Наталия Андреевна г. Благовещенск 2012 г.
Содержание Задание № 1. Анализ межотраслевых связей Задание № 2. Определение оптимального плана выпуска продукции и анализ оптимального решения с использованием двойственных оценок
Задание 3. Элементы теории игр Задание 4. Моделирование производственных процессов Список используемых источников
Задание № 1. Анализ межотраслевых связей Дан следующий отчётный межотраслевой баланс (МОБ):
Отрасли | Конечная продукция. | ||||||
17,54 | 128,29 | 0,82 | 0,00 | 14,61 | 316,3 | ||
18,81 | 180,24 | 107,77 | 14,75 | 82,23 | 306,3 | ||
5,95 | 29,71 | 70,61 | 85,06 | 78,49 | 527,5 | ||
6,12 | 34,31 | 41,62 | 48,38 | 101,34 | 159,2 | ||
10,83 | 97,17 | 89,19 | 61,55 | 279,84 | 1172,4 | ||
L | |||||||
Ф | |||||||
Требуется:
1. Построить таблицу отчетного МОБ, проверить основное балансовое соотношение.
2. Составить плановый МОБ при условии увеличения спроса на конечный продукт по отраслям соответственно на 10,9,7,8, и 7 процентов.
3. Рассчитать коэффициенты прямых и полных затрат труда и фондов и плановую потребность в соответствующих ресурсах.
4. Проследить эффект матричного мультипликатора при дополнительном увеличении конечного продукта по третьей отрасли на 5%.
5. Рассчитать равновесные цены при увеличении зарплаты по всем отраслям на 10% (считать доли зарплаты в добавленной стоимости по отраслям следующими: 0,33, 0,5, 0,35, 0,43, 0,6). Проследить эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении зарплаты в первой отрасли на 5%.
Решение
1. Заполним таблицу отчётного МОБ:
Отрасли | Итого | Конечная продукция. | Валовая продукция. | ||||||
17,54 | 128,29 | 0,82 | 0,00 | 14,61 | 161,26 | 316,3 | 477,56 | ||
18,81 | 180,24 | 107,77 | 14,75 | 82,23 | 403,80 | 306,3 | 710,1 | ||
5,95 | 29,71 | 70,61 | 85,06 | 78,49 | 269,82 | 527,5 | 797,32 | ||
6,12 | 34,31 | 41,62 | 48,38 | 101,34 | 231,77 | 159,2 | 390,97 | ||
10,83 | 97,17 | 89,19 | 61,55 | 279,84 | 538,58 | 1172,4 | 1710,98 | ||
Итого | 59,25 | 469,72 | 310,01 | 209,74 | 556,51 | 1605,23 | 2481,7 | 4086,93 | |
Добавленная стоимость. | 418,31 | 240,38 | 487,31 | 181,23 | 1154,47 | 2481,7 | |||
Валовая продукция. | 477,56 | 710,1 | 797,32 | 390,97 | 1710,98 | 4086,93 | |||
Труд | 279,00 | ||||||||
Фонды | 413,00 | ||||||||
Столбец «Итого» — промежуточный продукт отраслей — в сумме с конечной продукцией даёт валовой продукт, а строка «Итого» — стоимость материальных затрат — будучи вычтена из валовой продукции даёт добавленную стоимость отраслей.
Основное балансовое соотношение — общая по всем отраслям добавленная стоимость (2481,7) равна общему для всех отраслей конечному продукту (2481,7) — выполняется.
2. Для составления таблицы планового МОБ рассчитаем матрицу, А коэффициентов прямых материальных затрат по формуле:
т.е. все элементы каждого столбца матрицы межотраслевых потоков делятся на валовой выпуск соответствующей потребляющей отрасли (1 — ый столбец делится на первое значение, 2 — ой столбец делится на второе значение и т. д.).
Элементы матрицы планового МОБ рассчитаем по формуле:
где Е — единичная матрица;
(Е — А)-1 — матрица, обратная к матрице (Е — А).
Запишем матрицу (Е — А), а матрица В = (Е — А)-1 дана в условии.
Значения Упл получены увеличением конечного продукта планового МОБ на заданный процент его роста:
Получим:
Yпл = (347,93; 333,87; 564,43; 171,94; 1254,47)Т.
индекс Т — означает, что матрица-строка транспонирована.
Умножая матрицу В на матрицу-столбец Yпл получим матрицу-столбец Хпл (плановый валовой продукт):
Значения Хпл вписаны в таблицу планового МОБ:
Отрасли | Итого | Конечная продукция. | Валовая продукция. | ||||||
19,20 | 138,96 | 0,88 | 0,00 | 15,65 | 174,69 | 347,93 | 522,6 | ||
20,58 | 195,24 | 115,50 | 15,89 | 88,11 | 435,32 | 333,87 | 769,2 | ||
6,51 | 32,18 | 75,67 | 91,61 | 84,10 | 290,08 | 564,43 | 854,5 | ||
6,70 | 37,16 | 44,61 | 52,11 | 108,58 | 249,16 | 171,94 | 421,1 | ||
11,85 | 105,26 | 95,59 | 66,29 | 299,85 | 578,83 | 1254,47 | 1833,3 | ||
Итого | 64,84 | 508,80 | 332,25 | 225,90 | 596,30 | 1728,09 | 2672,6 | 4400,7 | |
Добавленная стоимость. | 457,76 | 260,4 | 522,25 | 195,2 | 2672,6 | ||||
Валовая продукция. | 522,6 | 769,2 | 854,5 | 421,1 | 1833,3 | 4400,7 | |||
Значения межотраслевых потоков планового МОБ получены по формуле:
Хij = aijXj,
где aij — элементы матрицы А;
Xj — соответствующие значения валового продукта планового МОБ.
Значения Хij, например для отрасли 1 получены произведением плановой валовой продукции этой отрасли (522,6) на первый столбец матрицы прямых материальных затрат (матрицы А):
Эти значения немного отличаются от величин Х1j, показанных в таблице, т.к. расчёты в таблице выполнены в Excel, т. е. без округления промежуточных результатов.
Основное балансовое соотношение — общая по всем отраслям добавленная стоимость (2672,64) равна общему для всех отраслей конечному продукту (2672,53) — выполняется с учётом округлений.
3. Коэффициенты прямой трудоёмкости и фондоёмкости по отчётному году составляли:
tj = Lj/ = 0,1591; 0,0507; 0,0865; 0,1072; 0,0339;
fj = Фj/ = 0,0691; 0,1366; 0,1568; 0,2225; 0,0438;
где — валовая продукция отчётного МОБ Тогда плановая потребность в труде и фондах при этих же коэффициентах и плановых значениях валовой продукции составят:
Lj = tjXj = 83,17; 38,995; 73,949; 43,082; 62,147;
Фj = fjXj = 36,114; 105,071; 133,966; 89,396; 80,362;
4. Увеличив спрос на конечный продукт на 5% по отрасли № 3, получим матрицу — столбец прироста спроса по отраслям:
ДY = (0; 0; 28,22; 0; 0) T;
Тогда прирост валовой продукции определится:
ДХ = ВДY = (1,30; 6,41; 32,23; 2,68; 5,90)Т;
Таким образом, изменение спроса на конечную продукцию только по третьей отрасли вызвало изменение спроса на валовую продукцию по всем отраслям. В процентном соотношении эти изменения составят: (0,25; 0,83; 3,77; 0,64; 0,32) %, т. е. по третьей отрасли изменения наибольшие.
5. Равновесные цены наёдём из соотношения Р = ВТV, а доли добавленной стоимости V найдём, разделив добавленную стоимость по отраслям на валовой выпуск:
Vj = (0,876; 0,339; 0,611; 0,464; 0,675).
Выделив отсюда заработную плату по долям из условия и прибавив 10% заработной платы к найденным долям Vj, получим:
— доли заработной платы в валовой продукции: (0,289; 0,169; 0,214; 0,199; 0,405).
— доли добавленной стоимости в валовой продукции: V = (0,905; 0,356; 0,633; 0,484; 0,715)
Транспонируя матрицу В и умножая ВТ на матрицу — столбец V, получим матрицу — столбец равновесных цен:
;
Таким образом, при росте заработной платы на 10% по всем отраслям цены на продукцию выросли в пределах от 4,1% до 5,7%, причём в наибольшей степени цены выросли в пятой отрасли, где доля заработной платы в добавленной стоимости самая высокая.
При дополнительном увеличении заработной платы в первой отрасли на 5% изменение равновесных цен определим по формуле:
ДР = ВТДV,
где ДV определим из условия задачи: ДV = (0,0145; 0; 0; 0; 0,)Т;
Тогда: ДР = (0,0152; 0,0038; 0,66; 0,0004; 0,43)Т.
Из расчёта следует, что при 5% - ном росте зарплаты в первой отрасли цены на её продукцию вырастут на 1,52%, а в остальных отраслях этот прирост составил от 0,04% до 0,38%.
Эффект мультипликатора в п. 4 и в п. 5 проявился в том, что изменение спроса на конечную продукцию в одной отрасли привело к изменению валового спроса по всем отраслям, а изменение заработной платы в одной отрасли привело к изменению цен во всех отраслях.
Задание № 2. Определение оптимального плана выпуска продукции и анализ оптимального решения с использованием двойственных оценок
Составить модель задачи и на примере ее решения проиллюстрировать свойства двойственных оценок. Рассмотреть задачу по определению оптимального плана выпуска продукции, максимизирующего выручку при известных нормах расхода ресурсов, объемах ресурсов и ценах реализации продукции.
Дано: матрица расхода ресурсов (А), объём ресурсов (В), цены реализации (С):
Модель задачи формулируется следующим образом: Найти х1; х2; х3; х4 (объёмы производства каждого вида продукции), удовлетворяющие ограничениям:
Для решения этой задачи симплекс — методом она приводится к каноническому виду добавлением в левые части ограничений неотрицательных балансовых переменных S1; S2; S3; S4:
Значения балансовых переменных показывают объёмы неизрасходованных ресурсов в соответствующем плане.
Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | RHS | Dual | ||
Maximize | |||||||
Constraint 1 | 0,2917 | ||||||
Constraint 2 | |||||||
Constraint 3 | 0,5833 | ||||||
Constraint 4 | 0,4583 | ||||||
Solution | 67,0833 | 103,3333 | $ 777,92 | ||||
Отчёт о решении этой задачи представлен в таблице.
В последней строке этого отчёта под переменными Х1; Х2; Х3; Х4 указаны их значения в оптимальном решении, а также значение целевой функции в столбце RHS.
В последнем столбце указаны двойственные оценки оптимального решения.
Для получения максимального дохода необходимо продукцию Х1; Х2; Х3; Х4 выпускать в объёмах: Х1 = 67,083; Х2 = 0; Х3 = 15; Х4 =103,33; При этом Zmax = 777,92
Двойственная задача: Найти значения переменных Y1; Y2; Y3; Y4, удовлетворяющих ограничениям:
при которых целевая функция:
становится минимальной.
Решения двойственной задачи из отчёта таковы:
Y1 = 0,292; Y2 = 0; Y3 = 0,583; Y4 = 0,458;
Из анализа двойственных оценок следует:
1. Так как каждая из них указывает, на сколько изменится максимальное значение целевой функции (максимальная выручка) если изменить на единицу запасы соответствующих ресурсов, то наибольшее изменение выручки произойдёт, если изменить объём 3-го ресурса. Изменение 2-го ресурса в пределах остатка не приведёт к изменению целевой функции (у2 = 0).
2. Y1; Y3;Y4 положительны, т. е. эти ресурсы расходуются полностью.
Проверка по неравенствам исходной задачи:
(1) 4•67,0833 + 2•0 + 5•15 + 2•103,333 = 550 = 550;
(3) 0•67,0833 + 5•0 + 2•15 + 6•103,333 = 650 = 650;
(4) 4•67,0833 + 1•0 + 3•15 + 2•103,333 = 520 = 520;
следовательно, эти ресурсы дефицитны. Поскольку у2 = 0, то второй ресурс расходуется не полностью:
(2) 3•67,0833 + 0•0 + 3•15 + 1•103,333 = 349,583 < 350;
Остаток 2-го ресурса S2 = 350 — 349,583 = 0,417 единиц определяет значение балансовой переменной в оптимальном решении исходной задачи.
3. Рентабельными являются 1-я, 3-я, и 4-я продукция т.к. Х1; Х3; Х4 — положительны, а 2-я продукция нерентабельна т.к. она не производится (Х2 = 0). Проверка по неравенствам двойственной задачи:
(1) 4•0,2917 + 3•0 + 0•0,5833 + 4•0,4583 = 3 = 3;
(2) 2•0,2917 + 0•0 + 5•0,5833 + 1•0,4583 = 3,96 > 3;
(3) 5•0.2917 + 3•0 + 2•0.5833 + 3•0.4583 = 4 = 4;
(4) 2•0.2917 + 1•0 + 6•0.5833 + 2•0.4583 = 5 = 5;
Таким образом, по 1-у, 3-у и 4-у уравнениям получены строгие равенства т. е. суммарная оценка ресурсов равна цене продукции, а во 2-м уравнении (для 2-ей продукции) затраты превышают цену на 3,96 — 3 = 0,96 ед., что даёт такой убыток на единицу в случае её производства.
Задание 3. Элементы теории игр Найти решение игры заданной матрицей:
Нижняя цена игры: Верхняя цена игры:
Матрица игры имеет седловую точку V = 4. Из систем уравнений:
Таким образом, решение игры:
Задание 4. Моделирование производственных процессов труд межотраслевой игра дуглас Пусть производственная система характеризуется производственной функцией Кобба-Дугласа
где Y — произведённый продукт;
С — масштабный множитель;
К — затраты капитала;
L — затраты труда;
б — коэффициент эластичности выпуска по капиталу (0<�б<1);
(1 — б) — эластичность выпуска по труду.
За период времени системой было произведено 110 единиц продукции при затратах 20 единиц труда и 40 единиц капитала. Известно, что б = 0,75.
1. Записать производственную функцию Кобба-Дугласа.
2. Сколько единиц продукта будет произведено системой при затратах 25 единиц труда и 50 единицах капитала?
3. Определить для данной производственной системы средние продукты труда и капитала, используя формулы 4.2; 4.3; 4.4.
4. Определить предельные продукты труда и капитала, используя формулы 4.5 и 4.6. Прокомментировать результаты расчётов.
5. Проверить вычислениями точность равенства 4.10.
Решение
1. Подставим в формулу (4.1)
исходные данные:
110 = С•400,75•200,25.
После вычислений получим:
110 = С•15,905•2,115 или С = 110/33,636 = 3,27.
Окончательно имеем:
Y = 3,27 K0,75L0,25.
2. Подставим в полученное выражение для производственной функции новые данные:
Y = 3,27•500,75•250,25 = 3,27•18,803•2,236 = 137,5.
Таким образом, системой при новых данных будет произведено 137,5 единиц продукта.
3. Подсчитаем средние продукты факторов, используя формулы (4.2), (4.3) и (4.4).
Из формулы (4.2) Ayk = Y/K следует, что фондоотдача Ayk = 110/40 = 2,75.
Из формулы (4.3) Ayk = C (L/K)1-. следует:
Ayk = 3,27•K0,75L0,25/К = 3,27•L0,25/К0,25 = 3,27• (20/40)0,25 = 2,75.
Из левого выражения (4.4)
Ayl = Y/L = C (K/L)
AyL = Y/L = 110/20 = 5,5.
Правая часть этого выражения даёт:
AyL = C•(K/L)= 3,27•(40/20)0,75 = 5,5.
Таким образом, проверяемые равенства выполняются.
4. Предельный продукт капитала — это частная производная выпуска по капиталу:
Получили, что действительно,
Мyk =•Ayk = 0,75•2,75 = 2,062.
Аналогично предельный продукт труда:
МyL = (1-) Ayl = 0,25•5,5 = 1,375.
Сравнивая средние и предельные продукты факторов, видим, что действительно, предельные продукты меньше средних, подтверждая тем самым закон убывающей эффективности факторов.
Средний продукт капитала, равный 2,75 означает, что в исследуемой экономической системе на единицу основных фондов приходится в среднем 2,75 единиц выпускаемого продукта, а предельный продукт капитала, равный 2,062, означает, что в исследуемой экономической системе на единицу прироста основных фондов приходится в среднем 2,062 единиц прироста выпуска продукта. Аналогично и по продукту труда.
5. Пусть левая часть выражения (4.10)
Y (K+K, L+L) Y + (Y/K)K + (1-) (Y/L)L.
— это выпуск продукта, подсчитанный в п. 2. Тогда K = 10, а L = 5. Подсчитаем правую часть выражения (4.10).
Y + (Y/K)K + (1-)•(Y/L)L = 110 + 0,75•(110/40)•10 + 0,25•(110/20)•5 = 110 + 20,625 + 6,875 = 137,5.
Таким образом, равенство 4.10 выполняется точно.
Список используемых источников
1. Бушин П. Я., Захарова В. Н. Математические методы и модели в экономике: учеб. пособие. — Хабаровск, 1998.
2. Бушин П. Я. Математические модели в управлении: учеб. пособие. — Хабаровск, 1999.
3. Экономико-математическое моделирование: учебник для студентов вузов / под общ. ред. И. Н. Дрогобыцкого. — М.: Экзамен, 2004.
4. Пелих А. С. Экономико-математические методы и модели в управлении производством / А. С. Пелих, Л. Л. Терехов, Л. А. Терехова. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2005.
5. Бережная Е. В. Бережной В.Н. Математические методы и модели экономических систем: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2003.
6. Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерчесокй деятельности: учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2005.