Решение плоских смешанных задач для квазилинейных параболических систем

Изучение смешанных задач для параболических уравнений относится к классическим проблемам уравнений математической физики. Разные аспекты этой проблемы не покидают поле деятельности многих математиков. Так укажем работы [15], [16], [25], [28], [32] относящиеся к случаю линейных задач. В последние годы наметилась интенсивность в изучении задачи для нелинейных параболических уравнений. Это вызвано в частности их многочисленными приложениями: в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращениях, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях, см. [6], [33]-[36].

Известны ряд методов решения смешанных задач, хорошо отражающие и развитие математической науки, метод интегральных преобразований, операторные методы, метод Галеркина, метод конечных разностей, метод Фурье и другие, см. [7]-[9], [14], [15], [25], [32]. Отметим важные фундаментальные исследования О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н. Уральцевой и их учеников, [19]-[21] по квазилинейным параболическим уравнениям общего вида методом априорных оценок. Особое место принадлежит также методу Фурье, связанному с большим математическим аппаратом и являющимся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики. Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для линейных задач с разделяющимися переменными получены В. А. Ильиным [16].

В работах С. Н. Бернштейна, З. И. Халилова, Ю. Ф. Коробейника и их последователей [9], [13], [18], [22], [29], [30], разработан обобщенный метод Фурье, сводящий решение как линейных так и нелинейных задач к решению бесконечной системы интегральных уравнений.

Разрешимость этих уравнений исследуется в определенных банаховых пространствах. Необходимым условием реализации этого метода является «самосопряженность главной пространственной части задачи».

Отметим, что в работах предыдущих авторов, относящихся к обобщенному методу Фурье для нелинейных задач, случай задачи для параболических систем вообще не рассматривался ввиду несамосопряженности ее пространственного оператора.

В данной диссертации перенесен на случай плоских параболических систем метод решения, предложенный А. И. Вагабовым, [10]-[12]. Этот метод является дальнейшим развитием обобщенного метода Фурье предыдущих работ и действует в комбинировании с методом интегральных преобразований типа Лапласа. Существенным отличием диссертации является также то, что в ней удалось построить решение линейной части задачи в виде суммы простого ряда экспонент. Это обстоятельство определяет конструктивный характер всех последующих построений и теорем, в отличие, скажем, от работ относящихся к методу априорных оценок. Квазилинейная задача сведена нами к системе двух матричных интегральных уравнений (а не к бесконечной, как в традиционном обобщенном методе Фурье), решаемой по алгоритму последовательных приближений. Простота построенной системы, вместе с полученными оценками решений в линейном случае, позволила, при минимальных требованиях на нелинейные слагаемые (не предполагающих априорных ограничений роста доказать в нашем случае теорему существования и единственности и явно указать простые выражения временных границ в этой теореме.

В ходе решения задачи разработан новый значительный аналитический аппарат, представляющий самостоятельный интерес.

Дадим краткое изложение содержания работы и ее существенных сторон, изложенных в трех главах.

Проблемой диссертации является исследование квазилинейной параболической системы, А дг ~ дх1 / г, х, у, V ду дх.

1).

0<х<1, с граничными и начальными условиями. = 0<х<1,.

2) (3) где А-пхп — вещественная постоянная матрица с различными характеристическими числами 0., г = 1, п, вещественные части которых положительныV, /, ср — пмерные столбцы, ф (х) е С1 [0,1], р (0) — (р (1) = 0, f (t, х, v, м>) — непрерывно дифференцируема в области.

Б:0<1<�Т, 0<х<1, ||у-ф (^х)||.

ЭФ дх, ||у (/, х)|| = тах|у (/, х)|, х, г.

Ф — решение задачи (1)-(3) при / = 0.

В § 2 гл. I. для вспомогательной краевой задачи с параметром X: У х)-Х2Ау = 0, 0<х<1 у (0) = у{1) = 0 получено представление ее матрицы, (функции) Грина в виде.

4) е.

— Цх-^Ш.

24А е тШ^-е^) (б).

Точный вид формулы (6) весьма существенен, так как все последующие построения связаны с функцией Грина.

В § 3 установлена.

Лемма 1. Для любой непрерывной функции / от матрицы, А Г (А) = тах/^1). г.

В теореме 2 установлена экспоненциальность убывания нормы матрицы Грина при X —> оо вне 8 -окрестности ее полюсов /, к Е. 2, = 3=1,п.

В § 4 установлены важные для всего изложения леммы об основных интегралах связанных с матрицей Грина. В них фигурирует контур

Ь} = {А, Щ = 1, cirg < а0},.

Ь2 = {к, Щ> 1, arg’k = ±a0}, тс 1(а0=- +.

—maxarg\f к.

4 2⁴ к.

В лемме 2 доказаны формулы.

А2 dr л/t.

А2.

7).

1 2 dtk f/2 } к = 0,1,2,., t>0, А — квадратная матрица. Лемма 4 доказывает, что интегралы вида.

J} (t, jVAx, ,.

2ni l te[t0,T], /t () > 0, 0 0.

Лемма 5. Интегралы вида l о & сходятся абсолютно и равномерно по t, х, te. t0,T', 0<х<1, ft0>0, seZ, фeC[0,l]. lim J°s (t, x) = 0, равномерно на Via^l, a>0. t->0.

Лемма 6. Интеграл.

1 1 ' 4 jG (x,)dl J/(т, Qe^^dx.

7ii представим в виде 1.

X I.

Пт г^ О.

2га.

Гдг, N = 1,2,., — последовательность замкнутых расширяющихся контуров, расположенных вне некоторой 5-окрестности полюсов функции Грина, расстояния которых от 0 стремятся к со при Ы—>оо, / -непрерывная функция.

В леммах 7 и 8 устанавливается, что интегралы видов ь о.

1 -{х+%)4А I 2.

I о.

И5 2 ь о о сходятся абсолютно и равномерно на [б>, г]х [0,7] для любой непрерывной функции / и принадлежат классам Гельдера Ну, 0 < У < ~ по г.

Опираясь на доказанные леммы доказываются теоремы 3, 4. Для любой непрерывной вектор-функции ф (х) справедлива формула предельного интегрального представления, 1.

Ф (х) = Нт— [ке '^Х Д, (8).

1->0 ш ^ а так же формула суммируемости ее разложения в ряд Фурье по собственным функциям задачи (4)-(5), 1 2.

Ф (х)=Нт Нт- [ке11^.

->•0 м-*" 2%г «.

9).

Сходимость в (8) и (9) равномерна на /[а, |3] с (0,1). Далее в заключении главы 1 установлена важная теорема об экспоненциальном разложении.

Теорема 5. Для любой функцииф (х)е Со, 1 справедлива формула, представляющая ее как предел при 1-^0 интеграла от экспоненциального ряда: ф (х)= Нтл — [•.

4е г 00 Л 2 к=1 У.

— е.

Е 2 к2 А к (х + 1) А к=1.

10).

1. Абдусаламов Х. А., Вагабов А. И. Смешанная задача для плоских параболических нелинейных систем. //Сборник тезисов международной конференции, г. Стерлитамак, 1998. — С. 133−135.

2. Абдусаламов Х. А. Суммируемость по Абелю обобщенного ряда Фурье непрерывной вектор-функции. //Вестник Дагестанского государственного университета. Махачкала, 1998. Выпуск 4. Естественные науки. С.41−44.

3. Абдусаламов Х. А. Теорема существования решения нелинейной смешанной задачи для параболической системы. //Сборник работ региональной конференции памяти Х. Ш. Мухтарова. Махачкала, 1999. С.5−7.

4. Абдусаламов Х. А., Вагабов А. И. Смешанная задача для квазилинейной параболической системы. // Зарегистрирована ВНТЦ 24 января 2000, № 70 200 000 010.

5. Абдусаламов Х. А. Леммы о специальных контурных интегралах. // Международная научная конференция, посвященная 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН 21−25 мая 1999 г. С.360−363.

6. Акрамов Т. А., Вишневский М. П. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия. //Сибирский математический журнал. 1995. Т.36. № 1. С.3−19.

7. Алиханова Р. И. Решение смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами методом Галеркина и применения. //Функциональный анализ. Баку ЭЛМ, 1971. — С.52−60.

8. Белоносов B.C. Оценки решений нелинейных параболических систем в Гельдеровских классах с весом и некоторые приложения. //Мат. сб. 1979. Т.110. № 2. С.163−188.

9. Вагабов А. И. Начально-краевая задача для нелинейного уравнения теплопроводности в пмерной прямоугольной области. //Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34. № 6. С.1−782−788.

10. Загорский Т. Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. Львов. 1961. 213 с.

11. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений. //УМН. 1960. Т.15. № 2. С.97−154.

12. Канель Я. И. Разрешимость в целом системы уравнений реакция-диффузия с балансным условием. //Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26. № 3. С.448−458.

13. Коробейник Ю. Ф. Бесконечные системы линейных дифференциальных уравнений: Диссертация кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 1958. — 204 с.

14. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

15. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: ГИФМЛ. 1973.-407 с.

16. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности. //УМН. 1986. Т.41. Вып.5. С.59−83.

17. Максудов Ф. Г., Худавердиев Ф. К. Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных гиперболических уравнений //ДАН СССР. 1990. Т.310. № 3. -С.539−542.

18. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. — 526 с.

19. Расулов М. Л. Применения метода контурного интеграла. М.: Наука. 1975.-255 с.

20. Соболевский П. Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве. //Труды Московского математического общества. 1961. С.297−350.

21. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. -Минск: Наука и техника. 1987. — 688 с.

22. Солонников В.А.Ж, Хачатрян А. Г. Оценки решений параболических начально-краевых задач в весовых гельдеровских нормах. //Труды математического института им. В. А. Стеклова. 1980. Т. 147. С.147−155.

23. Тихонов А. Н. Об уравнениях теплопроводности для нескольких переменных. //Бюлл. МГУ. Секция А. 1938. Т.1. Выпуск 9.

24. Хамраев К. Применение обобщенного метода Фурье и теории операторно-дифференциальных уравнений к решению некоторых смешанных задач для уравнений с частными производными. //Диссертация кандидата физико-математических наук. Баку. 1979. — 115 с.

25. Халилов З. И. Решение задачи колебания конечной струны в среде с переменным коэффициентом сопротивления. //ДАН АзССР. 1952. Т.8. № 7. — С.333−337.

26. Шварц JI. Анализ. М.: Мир. 1972. 811 с.

27. Эйдельман С. Д. Параболические системы. М.: Наука. 1964. -443 с.ЗЗ.Атапп Н. Dynamic theory of guasilinear parabolic equations II reaction diffusion system. //Differential Integral Equations. 1990. V.3. № 1. — P.13−75.71.

28. Giaqninta M., Struwe M. On the partial regularity of weak solutions of nonlinear parabolic systems. //Math. Z. 1982. Bd. 179, № 4. -S.437−451.

29. Croger K. Asymptotic behavior of solutions to a class of diffusionsreaction equations. //Math. Nachr, 1983. Bd.112. — S. 19−23.

30. Struwe M.A. Counterexample in regularity theory for parabolic systems. //Gzchoclowsk Math. J. 1984. V.34. № 2. P.183−188.