Математические модели поведения производителей

Министерство образования и науки Украины Донецкий Национальный университет

Курсовая работа

на тему: «Математические модели поведения производителей»

Выполнила: студентка II курса группа, А Полева Е. Л.

Проверила: Жилина Л. С.

Донецк-2008

Определение математической модели Общая схема принятия решений

Типы задач на оптимизацию

Модель фирмы

Задачи

Определение математической модели

Важным фактором, определяющим роль математики в различных приложениях, является возможность описания наиболее существенных черт и свойств изучаемого объекта на языке математических символов и соотношений. Такое описание принято называть математическим моделированием или формализацией.

Определение 1. Математической моделью реального объекта (явления) называется ее упрощенная, идеализированная схема, составленная с помощью математических символов и операций (соотношений).

Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:

1. Определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок (что дано и что требуется найти?);

2. Выявление важнейших факторов проблемы;

3. Выявление управляемых и неуправляемых параметров;

4. Математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе их называют экзогенными переменными. Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними. В экономической литературе их называют эндогенными переменными.

С точки зрения назначения, можно выделить описательные модели и модели принятия решения. Описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей.

Модели принятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Среди них наименее сложным являются оптимизационные модели, посредством которых описываются (моделируются) задачи типа планирования, а наиболее сложными —игровые модели, описывающие задачи конфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров (чего нет в описательных моделях).

Общая схема принятия решения

В математической экономике трудно переоценить роль моделей принятия решения. Наиболее частое применение находят те из них, которые сводят исходные задачи оптимального планирования производства, рационального распределения ограниченных ресурсов и эффективной деятельности экономических субъектов к экстремальным задачам, к задачам оптимального управления и к игровым задачам. Какова же общая структура таких моделей?

Любая задача принятия решения характеризуется наличием лица или лиц, преследующих определенные цели и имеющих для этого определенные возможности. Поэтому для выявления основных элементов модели принятия решения требуется ответить на следующие вопросы:

џ кто принимает решение?

џ каковы цели принятия решения ?

џ в чем состоит принятие решения ?

џ каково множество возможных вариантов достижения цели?

џ при каких условиях происходит принятие решения?

Итак перед нами некая общая задача принятия решения. Для построения ее формальной схемы (модели) введем общие обозначения.

Буквой N обозначим множество всех, принимающих решение сторон. Пусть N={1,2,…, n}, т. е. имеется всего n участников идентифицируемых только номерами. Каждый элемент называется лицом, принимающим решение (ЛПР). (например, отдельная личность, фирма, плановый орган большого концерна, правительства и др.).

Предположим, что множество всех допустимых решений (альтернатив, стратегий) каждого ЛПР предварительно изучено и описано математически (например, в виде системы неравенств). Обозначим их через X₁ , X₂ ,…, X_n. После этого процесс принятия решения всеми ЛПР сводится к следующему формальному акту: каждое ЛПР выбирает конкретный элемент из своего допустимого множества решений, ,…,. В результате получается набор х =(х1 ,…, хn) выбранных решений, который мы называем ситуацией.

Для оценки ситуации х с точки зрения преследуемых целей ЛПР строятся функции f₁ ,…, f_n (называемыми целевыми функциями или критериями качества), ставящие в соответствие каждой ситуации х числовые оценки f₁(x),…, f_n(x) (например, доходы фирм в ситуации х, или их затраты и т. д.). Тогда цель i-го ЛПР формализуется следующим образом: выбрать такое свое решение, чтобы в ситуации х =(х₁ ,…, х_n) число f_i(х) было как можно большим (или меньшим). Однако достижение этой цели от него зависит частично в виду наличия других сторон, влияющих на общую ситуацию x с целью достижения своих собственных целей. Этот факт пересечения интересов (конфликтность) отражается в том, что функция f_i помимо x_i зависит и от остальных переменных x_j (j i). Поэтому в моделях принятия решения со многими участниками их цели причодится формализовать иначе, чем максимизация или минимизация значений функции f_i(х). Наконец, пусть нам удалось математически описать все те условия, при которых происходит принятие решения. (описание связей между управляемыми и неуправляемыми переменными, описание влияния случайных факторов, учет динамических характеристик и т. д.). Совокупность всех этих условий для простоты обозначим одним символом .

Таким образом, общая схема задачи принятия решения может выглядеть так:

(1)

Конкретизируя элементы модели (1.6.1.), уточняя их характеристики и свойства, можно получть тот или иной конкретный класс моделей принятия решения. Так если в (1.6.1.) N состоит только из одного элемента (n=1), а все условия и предпосылки исходной реальной задачи можно описать в виде множества допустимых решений этого единственного ЛПР, то из (1.6.1.) получаем структуру оптимизационной (экстремальной) задачи: < Х, f >. В этой схеме ЛПР может рассматриваться как планирующих орган. С помощью данной схемы можно написать экстремальные задачи двух видов:

(2)

Если в экстремальной задаче явно учитывается фактор времени, то она называется задачей оптимального управления. Если n 2, то (1.6.1.) является общей схемой задачи принятия решения в условиях конфликта, т. е. в тех ситуациях, когда имеет место пересечение интересов двух или более сторон.

Часто у ЛПР имеется не одна, а несколько целей. В этом случае из (1) получаем схему, где все функции f₁(x),…, f_n(x) определены на одном и том же множестве Х. Такие задачи называются задачами многокритериальной оптимизации.

Имеются классы задач принятия решения, получившие свои названия исходя из их назначения: системы массового обслуживания, задачи управления запасами, задачи сетевого и календарного планирования, теория надежности и др.

Если элементы модели (1) не зависят явно от времени, т. е. процесс принятия решения сводится к мгновенному акту выбора точки из заданного множества, то задача называется статической. В противном случае, т. е. когда принятие решения представляет собой многоэтапный дискретный или непрерывный во времени процесс, задача называется динамической. Если элементы модели (1) не содержат случайных величин и вероятностных явлений, то задача называется детерминированной, в противном случае — стохастической.

Типы задач на оптимизацию

Задача оптимального раскроя материала. Фирма изготавляет изделие состоящее из р деталей. Причем в одно изделие эти детали входят в количествах k₁ ,…, k_r. С этой целью производится раскрой m партий материала. В i-ой партии имеется b_i единиц материала. Каждую единицу материала можно раскроить на детали n способами. При раскрое единицы i-ой партии j-м способом получается а_ijr деталей r-го вида. Требуется составить такой план раскроя материала, чтобы из них получить максимальное число изделий.

Транспортная задача. Имеется n поставщиков и m потребителей одного и того же продукта. Известны выпуск продукции у каждого поставщика и потребности в ней каждого потребителя, затраты на перевозки продукции от поставщика к потребителю. Требуется построить план транспортных перевозок с минимальными транспортными расходами с учетом предложения поставщиков и спроса потребителей.

Задача о назначениях на работу . Имеется n работ и n исполнителей. Стоимость выполнения работы i исполнителем j равна c_ij. Нужно распределить исполнителей на работы так, чтобы минимизировать затраты на оплату труда.

3адача о смесях (о рационе). Из m видов исходных материалов каждый из которых состоит из n компонент, составить смесь, в которой содержание компонент должно быть не меньше b₁ ,…, b_n .Известны цены единиц материалов с₁ ,…, с_m и удельный вес j-го компонента в единице i-го материала. Требуется составить смесь, в которой затраты будут минимальными.

Задача о рюкзаке. Имеется n предметов. Вес предмета i равен р_i, ценность — сi (i=1,…, n). Требуется при заданной ценности груза выбрать совокупность предметов минимального веса.

Задача о коммивояжере. Имеется n городов и заданы расстояния c_ij между ними (j, i=1,…, n). Выезжая из одного (исходного) города, коммивояжер должен побывать во всех остальных городах по одному разу и вернуться в исходный город. Нужно определить в каком порядке следует обьезжать города, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим.

Задача о станках. На универсальном станке обрабатываются одинаковые партии из n деталей. Переход от обработки детали i к обработке детали j требует переналадки станка, которая занимает c_ij времени. Требуется определить последовательность обработки деталей, при которой общее время переналадок станка при обработку партии деталей минимально.

Задача о распределении капиталовложений. Имеется n проектов, причем для каждого проекта j известны ожидаемый эффект от его реализации и необходимая величина капиталовложений g_j. Общий объем капиталовложений не может превышать заданной величины b. Требуется определить, какие проекты необходимо реализовать, чтобы суммарный эффект был наибольшим.

Задача о размещении производства. Планируется выпуск m видов продукции, которые могли бы производиться на n предприятиях (n>m). Издержки производства и сбыта единицы продукции, плановый объем годового производства продукции и плановая стоимость единицы продукции каждого вида известны. Требуется из n предприятий выбрать такие m, каждое из которых будет производить один вид продукции.

Модель фирмы

Пусть производственная фирма выпускает один вид продукции или много видов, но в постоянной структуре. Тогда годовой выпуск фирмы в натурально-вещественной форме X — это число единиц продукции одного вида или число много номенклатурных агрегатов. Для производства продукции фирма использует настоящий труд L (среднее число занятых в год либо отработанные за год человеко-часы) прошлый труд в виде средств труда К (основные производственные фонды) и предметов труда М (затраченные за год топливо, энергия, сырьё, материалы, комплектующие и т. п.).

Каждый из этих трех агрегированных видов ресурсов (труд, фонды и материалы) имеет определенное число разновидностей (труд разной квалификации, оборудование различного вида и т. п.). Обозначим вектор-столбец возможных объемов затрат различных видов ресурсов через х=(х₁ …, х_n)'. Тогда технология фирмы определяется ее производственной функцией, выражающей связь между затратами ресурсов и выпуском:

X=F (x). (3)

Предполагается, что F (x) является дважды непрерывно-дифференцируемой и неоклассической, кроме того, ее матрица вторых производных отрицательно определена.

Если цена единицы продукции равна р, а цена единицы ресурса j-го вида — wj, j= 1, …, n, то каждому вектору затрат х отвечает прибыль П (х) = pF (x)-wx, ( 4) где w= (w1, w2 …, wn) — вектор-строка цен ресурсов. Цены ресурсов имеют естественный и понятный смысл: если хj — среднегодовое число занятых определенной профессии, то wj — годовая заработная плата одного работника данной профессии; если хj — по-купные материалы (топливо, энергия и т. п.), то wj — покупная цена единицы данного материала; если хj — производственные фонды определенного вида, то wj — годовая арендная плата за единицу фондов или стоимость поддержания единицы фондов в исправности, если фирма владеет этими средствами.

В (4) R = pX= pF (x) — стоимость годового выпуска фирмы или ее годовой доход, С = wx — издержки производства или стоимость затрат ресурсов за год.

Если нет других ограничений на размеры вовлекаемых в производ-ство ресурсов, кроме естественного требования их неотрицательности, то задача на максимум прибыли приобретает вид

max [pF (x) — wx] (5)

Это задача нелинейного программирования с п условиями неотрицательности х>0, необходимыми условиями ее решения являются условия Куна-Таккера (см. В. А. Колемаев «Математическая экономика», с. 236, Приложение 4)

(6)

Если в оптимальном решении использованы все виды ресурсов, т. е. х*>0, то условия (6) принимают вид или (7)

т.е. в оптимальной точке стоимость предельного продукта данного pесурса должна равняться его цене.

Точно такое же по форме решение имеет задача на максимум выпуска при заданном объеме издержек

max F (x), (8) wx С, х 0

Это задача нелинейного программирования с одним линейным ограничением и условием неотрицательности переменных. Согласно теории (см. Приложение 4) вначале строим функцию Лагранжа

L (x,) = F (x) + (C-wx),

затем максимизируем ее при условии неотрицательности переменных. Для этого необходимо выполнение условий Куна—Таккера

(9)

Как видим, условия (9) полностью совпадают с (6), если

Пример . Выпуск однопродуктовой фирмы задается следующей проиводственной функцией Кобба-Дугласа:

Х= F (K, L) = 3K^2/3L^1/3

Определить максимальный выпуск, если на аренду фондов и оплату труда выделено 150 д.е., стоимость аренды единицы фондов w_к= 5 д.е./е.ф., ставка заработной платы w_L = 10 д.е./чел.

Какова предельная норма замены одного занятого фондами в оптимальной точке?

Решение. Поскольку F (0,L) = F (K, 0) = 0, то в оптимальном решении К* > 0, L*>0, поэтому условия (9) принимают вид

(10)

или в нашем случае Поделив первое уравнение на второе, получаем Подставив это соотношение в условие w_KK* + w_LL* = 150, находим Решение можно проиллюстрировать геометрически. На рис. 1 изображены изокосты (линии постоянных издержек для С = 50, 100, 150) и изокванты (линии постоянных выпусков для Х= 25,2; 37,8).

Рисунок 1

Изокосты имеют следующие уравнения:

5K+10L=C = const.

Изокванты имеют следующие уравнения:

В оптимальной точке К* = 20, L* = 5 изокванта X* = 37,8 и изокоста, проходящие через эту точку, касаются, поскольку согласно (10) нормали к этим кривым, заданные градиентами, коллинеарны.

Норма замены труда фондами в оптимальной точке т. е. один работающий может быть заменен двумя единицами фондов.

Решая задачу фирмы (5) на максимум прибыли, находим единственный оптимальный набор ресурсов х* >0 (рассматриваем случай, когда все ресурсы войдут в набор). Этому набору отвечает единственное значение издержек С* = wx*. Решим теперь задачу (8) на максимум выпуска при заданных издержках С*. Если F (x) — неоклассическая производственная функция, то в оптимальном решении х* > 0, причем это решение единственно.

Таким образом, с одной стороны,

а с другой стороны -. Поскольку П (х^*) = pF (x^*)-wx^* pF ()-w=П () и wx^*= w=С^*, то, но, поэтому .

Так как решение задачи на максисмум прибыли (5) единственно, то = х*. Итак, если задача на максимум прибыли имеет единственное решение х* > 0, то ей отвечает задача на максимум выпуска при заданных издержках С* = wx*, причем последняя имеет такое же решение, как и первая (см. рис. 1).

Геометрическое место точек касания изокост и изоквант при разных значениях издержек С определяет долгосрочный путь развития фирмы Х©, т. е. показывает, как будет увеличиваться (уменьшаться) выпуск, если издержки возрастут (уменьшатся). Поскольку эта зависимость монотонна, то существует обратная монотонная функция издержек

С = С (Х).

Поскольку Х (С) — максимальный выпуск при заданных издержек то издержки С (Х), отвечающие этому максимальному выпуску X, — минимальные издержки.

Если известна функция минимальных издержек С (Х), оптимальный размер выпуска снова определяется из условия максимума прибыли

max П (х), П (х) = рХС (X). (11)

Приравниваем к нулю производную:

т.е. в оптимальной точке предельные издержки равны цене выпуска:

(кроме того, максимум прибыли достигается при). Рассмотрим п соотношений (7)

Эти соотношения могут быть разрешены относительно х в окрестности оптимальной точки, если якобиан |J| 0, где Это означает, что должен быть отличен от нуля гессиан |Н| производственной функции (но Н отрицательно определена, поэтому действительно |Н| =0). Тогда

х* = х* (р, w) (12)

или

х_j* = х_j* (р, w), j = 1,…, n

Эти п уравнений задают функции спроса (на ресурсы), найденные с помощью модели поведения фирмы. Функции спроса на ресурсы могут быть также найдены экспериментально с помощью методов математической статистики по выборочным данным. Функция предложения

Х*(р, w) = F [x*(p, w)].

Подобно уравнениям Слуцкого, показывающим реакцию потребителя на изменения цен товаров, аналогичные уравнения описывают реакцию производителя на изменения цен выпуска и ресурсов.

При заданных ценах р, w поведение производителя определяется следующими соотношениями (всего (п + 1) соотношение):

Х*(р, w) = F [x*(p, w)],

.

Задачи

1. Производственная функция Х= описывает зависимость между затратами ресурсов х₁, х₂ , х₃ и выпуском Х.

Определить максимальный выпуск, если

х₁+х₂+х₃=9.

Каковы предельные продукты в оптимальной точке?

Решение.

Согласно условиям (8) для задачи на максимум выпуска, должны выполняться:

max F (x), wx С, х 0.

Составим функцию Лагранжа:

L (x,) = F (x) + (C-wx),

L (x,)= +;

Дифференцируя заданную функцию по перменным х₁, х₂ , х₃, имеем систему неравенств:

Решая систему, получим значения: при =4,061, 0,877.

Обозначим найденую точку через М. Найдем значение функции Х в полученой точке:

11,28.

Найдем предельные продукты по ресурсам в точке М:

2. Производственная функция фирмы имеет следующий вид:

Х=3.

Определить предельные продукты по ресурсам и построить изокванту Х=3. Написать уравнеие изоклинали (линии наибольшего роста выпуска), проходящей через точку х₁=1, х₂=1, найти норму замены первого ресурса вторым в этой точке.

Решение.

Предельным продуктом по первому ресурсу является

по второму ;

Уравнение изокванты имеет вид при Х=3 :

х₁

х₂

Общее уравнение изоклинали имеет вид: , где (х_{1 0}, х_{2 0}) — координаты точки, через которую проходит изоклиналь. Подставим точки в уравнение, получим: .

Норма замены первого ресурса вторым в этой точке равен:

Список используемой литературы

1. В. А. Колемаев «Математическая экономика».

2. В. Д. Камаев «Экономическая теория для вузов».

3. В. С. Немчинов «Экономико-математические методы и модели».

4. Ресурс Internet.