Математические основы финансов

Математические основы финансов План.

I. Понятие временной стоимости денег.

II. Базовые понятия финансовой математики.

2.1 Антисипативный и декурсивный методы начисления процентных ставок.

2.2 Эквивалентность процентных ставок.

2.3 Учет инфляционного обесценения денег.

2.4 Аннуитеты.

2.5 Дивиденды и проценты по ценным бумагам. Доходность по операциям с ценными бумагами Литература.

I. Понятие временной стоимости денег стоимость процентный ставка доходность Временная стоимость денег (англ. time value of money) — одно из самых важнейших понятий в финансах. Отцом понятия является Леонардо Фибоначчи; разработал он его в 1202 году. Временная стоимость денег гласит, что деньги должны приносить прибыль; таким образом сумма сейчас стоит больше, чем эта же сумма потом, т.к. вложенная сейчас сумма принесет прибыль потом.

Для того чтобы лучше понять временную стоимость проведем несложные расчеты:

Возьмем к примеру два человека: Серик и Берик. Исходная сумма (англ. present value) составит 5 000 $. Серик решил взять эти деньги потом, через пять лет, А Берик сейчас и положил их допустим на депозит под 12% годовых, допустим, под простую ставку. Посчитаем реальную стоимость денег Серика на данный момент с учетом того, что он решил взять деньги через пять лет. Конечно, в нашем примере, мы можем посчитать лишь виртуальную исходную сумму Серика, т.к. сейчас он ничего не получал. Но вычисление исходной суммы (пусть и виртуальной) позволит нам понять, сколько Серик получил бы сейчас, если бы он был мудрым, как Берик, чтобы получить в конце периода наращенную сумму в 5000. Иными словами, сколько надо иметь сейчас, чтобы вложить и через пять лет получить 5000? Годовая процентная ставка в нашем примере неизменна и составляет 12%.

= 5000/(1+0,12· 5) = 5000/1,6 = 3125.

Таким образом, получается, что выбор второго варианта (сумма потом) просто равен получению 3125 сейчас. Теперь главный вопрос: что лучше, 3125 сейчас или 5000 потом? То есть взять 5000 потом, это то же самое, что взять 3125 сейчас. И это даже с учетом того, что мы не учитываем инфляцию.

II. Базовые понятия финансовой математики Проценты — доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка — величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Наращение первоначальной суммы долга — это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Множитель (коэффициент) наращения — величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления — промежуток времени, за который начисляют проценты (получается доход).

Интервал начисления — минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Декурсивный метод начисления (ссудный процент) — проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Ссудный процент представляет собой отношение начисленной суммы за определенный интервал к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ начисления (учетная ставка) — проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Учетная ставка представляет собой отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал начисления к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.

Простая процентная ставка — процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления.

Сложная процентная ставка — по прошествии каждого интервала начисления в следующем интервале проценты начисляются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов.

Возьмем для понимания декурсивный метод начисления по простой ставке. Допустим, взят кредит на сумму 10 000 $, на срок 36 месяцев, при простой годовой ссудной ставке 10%.

То есть S= 10 000*(1+3*0,1) = 10 000* 1,3=13 000.

Проценты это разница между вложенным капиталом и наращенной суммой — 3000.

Процентная ставка — 10%.

Наращение первоначальной суммы 13 000.

Коэффициент наращения 1,3.

Период — 36 месяцев Интервал начисления — 1 год.

2.1 Антисипативный и декурсивный методы начисления процентных ставок.

— относительная величина ссудной ставки %.

— относительная величина учетной ставки %.

— период начисления.

— интервал начисления.

— общая сумма процентных денег на период начисления.

— первоначальный капитал/денежная сумма.

— наращенная сумма.

— коэффициент наращения.

— номинальная годовая ставка.

2.2 Эквивалентность процентных ставок Эквивалентные процентные ставки — это такие процентные ставки разного вида, использование которых дают одинаковые финансовые результаты при одинаковых начальных условиях.

1) Эквивалентность простых учетных и ссудных ставок При условии одинаковых условий, т. е. срока, первоначальной суммы, эквивалентная процентная ставка определяется:

В случае определения эквивалентной учетной ставки:

2) Эквивалентность простых и сложных ссудных ставок Составим уравнение эквивалентности для определения эквивалентной простой ссудной ставки при данной сложной учетной ставке:

В случае если дана простая ссудная ставка, а необходимо определить эквивалентную ей сложную учетную ставку, то:

В том случае, если интервал начисления по сложной ссудной ставке отличен от года, то простая ссудная ставка определяется следующим образом:

В случае противоположном этому, когда дана простая ссудная ставка процентов, а необходимо определить эквивалентную ей сложную ссудную ставку с интервалом начисления отличным от года, то используется следующее уравнение эквивалентности:

3) Если необходимо определить сложную ссудную ставка с интервалом начисления в 1 год, эквивалентную сложной ссудной ставке, но с иным интервалом начисления, отличным от года, то используется следующее уравнение эквивалентности:

Данная ставка именуется эффективной ставкой сложных процентов.

4) Эквивалентность сложных учетной и ссудной ставки При определении данной сложной учетной ставки эквивалентная сложная ссудная ставка будет определяться как:

Возводим обе части уравнения в :

В ином случае, когда дана сложная ссудная ставка процентов, а необходимо определить эквивалентную ей сложную учетную ставку процентов, то используется следующая формула:

5) Уравнивающая ставка. Рассмотрим случай, когда нам нужно определить что выгодней заплатить большую сумму, но позже, или меньшую сумму, но раньше. Т. е. при условии, что и, необходимо узнать что выгодней нам, заплатить через, или заплатить меньшую сумму, но раньше, через. Т. е. для принятия такого решения, нужно определить современные величины этих значений. И в таких случаях определяется уравнивающая ставка, которая выражает тот случай, когда современные величины обоих значений совпадут т. е. :

;

Тогда определим уравнивающую ставку, удовлетворяющую условию :

т.е. при всех, или сложной ставке меньшей, чем уравнивающая, будет выгодней взять меньшую сумму на меньший срок, а в случае следует использовать вариант с большей суммой и на больший срок.

2.3 Учет инфляционного обесценения денег Темп инфляции Наращенная сумма с учетом инфляции будет равна:

Индекс инфляции.

в случае, если период начисления нецелое число;

в случае, если задан уровень инфляции за интервал меньше года.

Формула Фишера:

Значение является величиной, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь.

Ссудные ставки с учетом инфляции Простая ссудная ставка с учетом инфляции:

Сложная ссудная ставка процентов с погодичным интервалом начисления с учетом инфляции:

Сложная ссудная ставка процентов с интервалом начисления, отличным от года, с учетом инфляции:

Учетные ставки с учетом инфляции Простая учетная ставка с учетом инфляции:

Сложная учетная ставка процентов с погодичным интервалом начисления с учетом инфляции:

Сложная учетная ставка процентов с интервалом начисления, отличным от года, с учетом инфляции:

2.4 Аннуитеты Аннуитет (финансовая рента) — поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет.

Аннуитет постнумерандо (обыкновенный) — платежи осуществляются в конце интервалов Наращенная сумма всего аннуитета:

Сумма первого платежа, на который будут начисляться проценты, составит:

;

Для второго платежа проценты будут начисляться на один год меньше:

; и т. д.

На последний платеж, произведенный в конце n-го года, проценты уже не начисляются:

; тогда общая наращенная сумма будет составлять сумму всех платежей :

т.е.:

Используем математическую формулу для суммы членов геометрической прогрессии:

Где сумма членов геометрической прогрессии или общее количество платежей, первый член прогрессии, а, тогда:

Т.е. коэффициент наращения для аннуитета постнумерандо составляет:

Современное значение каждого платежа Следовательно, современная величина всего аннуитета:

Снова используем формулу определения суммы членов геометрической прогрессии:

;

Где опять же сумма членов прогрессии или сумма современных значений каждых из платежей, а. Тогда для получаем выражение:

То есть современная величина всего аннуитета составит Определим взаимосвязь наращенной и современной сумм аннуитета:

Определение размера очередного платежа:

Срок аннуитета:

Для определения аннуитета пренумерандо нужно формулы наращенной суммы или современной стоимости аннуитета постнумерандо умножать на :

Коэффициент наращения для аннуитета пренумерандо составит:

И соответственно коэффициент приведения для аннуитета пренумерандо:

Каждая современная величина аннуитета пренумерандо будет больше на, т.к. дисконтирование аннуитета постнумерандо по заданной ставке проводиться на один раз меньше, чем у аннуитета пренумерандо. Т. е. современная величина всего аннуитета пренумерандо составит:

Вечные аннуитеты (когда срок аннуитета не ограничен):

Постнумерандо:

Пренумерандо:

При увеличении аннуитета с каждым интервалом на определенную величину ,.

т.е. платежи представят собой следующий ряд:

Наращенная сумма всего аннуитета тогда составит:

Умножим обе части на.

Видно, что часть равенства представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где отсюда мы получаем:

Найдем современное значение аннуитета А:

.

Умножим обе части на, тогда получим:

Т.е. верна формула взаимосвязи наращенной и современной сумм аннуитета:

откуда:

Конверсия аннуитетов, т. е. изменение начальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному, то есть их современные величины равны к одному и тому же моменту времени:

тогда:

2.5 Дивиденды и проценты по ценным бумагам. Доходность по операциям с ценными бумагами Долговые ценные бумаги обычно имеют фиксированную процентную ставку и являются обязательством выполнить полную сумму долга с процентами на определенную дату в будущем. По дисконтным долговым ценным бумагам доход представляет собой скидку с номинала.

Долевые ценные бумаги представляют собой непосредственную долю держателя в реальной собственности и обеспечивают получение дивиденда в неограниченное время Расчет доходности по облигациям:

Курс облигаций:

Доход по облигации Ссудная ставка, эквивалентная доходу по облигациям:

Расчет доходности по акциям Валовый доход от покупки акций.

который состоит из:

Доход от дивидендов: (срок * величина дивидендов * номинал).

— разница между покупной и продажной ценами акции Ссудная ставка, эквивалентная доходу от акции Литература.

1. Андрюшин С., Кузнецова В. Приоритеты денежно-кредитной политики центральных банков в новых условиях // Вопросы экономики. — 2011. — № 6. — С. 57 — 59.

2. Ануреев С. В. Денежно-кредитная политика, диспропорции и кризисы. — М.: Кнорус, 2009. — 448 с.

3. Баликоев В. З. Общая экономическая теория. — М.: Омега-Л, 2011. — 688 с.

4. Гусейнов Р. М., Семенихина В. А. Экономическая теория. — М.: Омега-Л, 2009. — 448 с.

5. Жученко О. А. Инструменты денежно-кредитной политики и их использование // Вестник государственного гуманитарного университета. — 2009. — № 3. — С. 65 — 73.

6. Коршунов Д. А. О построении модели общего равновесия для экономики России // Деньги и кредит. — 2011. — № 2. — С. 56 — 67.

7. Криворотова Н. Ф., Урядова Т. Н. Актуальные проблемы денежно-кредитной политики России // Terra Economicus. — 2012. — № 3. — С. 24 — 26.

8. Лукша Н. Инфляция и денежно-кредитная политика // Экономико-политическая ситуация в России. — 2012. — № 12. — С. 9 — 11.

9. Малхасян А. М. Направления совершенствования денежно-кредитной политики Российской Федерации // Финансы и кредит. — 2012. — № 43. — С. 51 — 62.

10. Матовников М. Ю. К вопросу об инструментах денежно-кредитной политики // Деньги и кредит. — 2012. — № 1. — С. 32 — 34.

11. Милюков А. И., Пенкин С. А. Денежно-кредитная политика как фактор роста российской экономики // Банковское дело. — 2011. — № 9. — С. 21 — 24.

12. Улюкаев А. В. Новые вызовы денежно-кредитной политики // Деньги и кредит. — 2012. — № 11. — С. 3 — 5.

13. Челноков В. А. К вопросу о сущности, функциях и роли современных денег // Деньги и кредит. — 2010. — № 5. — С. 68 — 70.

14. Экономическая теория / Под ред. В. Д. Камаева. — М.: Владос, 2007. — 592 с.

15. Экономическая теория / Под ред. Е. Н. Лобачевой. — М.: Юрайт, 2011. — 522 с.