Математические уравнения и их использование в решении задач

План

• Введение
• Глава 1. История возникновения уравнений
• Глава 2. Решения уравнений и способы их упрощения
• Глава 3. Использование уравнений при решении задач
• Заключение
• Список используемой литературы

Великая и точная наука математика возникла в глубокой древности из практических деятельностей людей.

Математика возникла не только из практических нужд человека, но также как и поэзия, живопись, музыка, театр и вообще искусство, была вызвана к жизни духовными потребностями человека, его, быть может, не до конца осознанными еще, стремлением к познанию и красоте.

В истории науки принято называть первым математиком Фалеса — греческого купца, путешественника и философа. Фалесу приписывают первые математические теоремы. Кстати, Фалес не был «чистым» математиком, он решал и прикладные задачи. Измерив тень от египетской пирамиды и тень от шеста и применив свои теоремы о подобии, он вычислил высоту пирамиды. Так, по легенде, родилась наука математика.

В прежние времена, вплоть до конца XIX столетия, математикой занимались немногие. Сейчас ей посвящают жизнь десятки, а возможно сотни тысяч людей.

Что же дала математика человечеству? Многие крупнейшие ученые видели ее главную задачу в содействии объяснению законов природы. Галилею принадлежат замечательные слова: «Великая книга Природы написана языком математики» .

Современная математика сформировалась примерно 400 лет тому назад в трудах Галилея, Кеплера, Ньютона, Гюйгенса, одним из основных стимулов, для которых было постичь законы движения тел. В трудах этих ученых математика и физика как бы сливались воедино. Союз математики и наук о природе принес самые яркие плоды в начале XX в. Тогда родилась теория относительности и квантовая механика. Это стало триумфом математики: чисто теоретические построения математики действительно оказались языком, на котором написана книга Природы.

Однако приложения математики ограничиваются не только квантовой механикой и физикой, но и с XVIII в., со времен Эйлера и Лагранжа математика служит базой для инженерных наук. Все крупные технические достижения — от строительства зданий и мостов до раскрепощения атомной энергии, сверхзвуковой авиации и космических полетов — были бы невозможны без математики.

Потребность решать эти грандиозные задачи привела к созданию компьютеров, и на наших глазах происходит новая техническая и информационная революция. Наше время — период невиданного расцвета математики. Достижения XX в. по меньшей мере сопоставимы с результатами всего предшествующего периода его развития — от Фалеса до начала XX столетия. А число еще не раскрытых тайн неисчерпаемо.

На вопрос «для чего изучают математику?» замечательно ответил еще в XIII в. английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон: «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества». Действительно, не имея существенных знаний по математике, мы не сможем точно и конкретно понять и другие важные науки для нашей жизни…

В настоящее время математика представлена большим количеством разделов: алгебра, геометрия, тригонометрия, топология, математический анализ, теория чисел и многими другими.

В школьном курсе математика представлена таким разделом как: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и начала анализа. Большую часть школьной математики занимает алгебра. Ее элементы начинают изучать уже в начальной школе (равенства, простейшие уравнения, неравенства) и продолжаются до 11 класса до логарифмических, показательных и дифференциальных уравнений.

Самый большой материал, который рассматривают на протяжении всех лет изучения алгебры — это различные уравнения и способы их решения. Уравнения уже сами по себе представляет интерес для изучения, так как в известном смысле именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности, очевидно, что роль уравнений в естествознании определяет и их роль в школьном курсе математики. Большое значение в алгебре играет метод уравнений в решении задач жизненного содержания: это задачи, связанные с основами современного производства, экономика народного хозяйства, задач в смежных дисциплинах (физики, химии, биомеханики, астрономии и т. д.) Поэтому темой нашего реферата выбраны уравнения.

Целью являются изучение истории возникновения уравнений, понятия решения уравнений и виды их упрощения, а также рассмотрение способов решения ряда занимательных задач с помощью уравнений.

Реферат состоит из введения, трех глав и заключения. Во введении рассмотрено то, что явилось причиной возникновения математики и ее роль в развитии различных наук. Глава первая посвящена истории возникновения уравнений, во второй главе описывается понятие решения уравнений и способы их упрощения, в третьей главе рассматриваются решения занимательных задач методом уравнений. И в заключении сформулированы основные выводы о значении уравнений в курсе математики.

Глава 1. История возникновения уравнений

Представим, что в очень легком — практически невесомом — кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не заглядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелек на одну чашу рычажных весов и уравновесим его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потребуется — столько же их и в кошельке.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов." Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37…" , — поучал во втором тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели каким-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако, ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского — собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата — «Китаб аль-джебр Валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») — со временем превратилось знакомое всем слово «алгебра». А само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Аль-Хорезми один из первых стал обращаться с уравнениями так, как торговец обращается с рычажными весами. Пусть, например, имеет равенство 5х — 16=20 — 4х. Считая, что оно задает равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество:

После этой законной операции прибавления одинаковых количеств число 16 исчезло из левой части исходного равенства, зато со значением плюс оно возникло (восстановилось) в правой части. Точно также на обе чаши весов можно добавить одно и то же количество 4х:

Опять из правой части равенства выражение 4х пропало, а в левой оно восстановилось со знаком плюс. Из полученного простого равенства 9х=36 уже легко вычислить что х=4.

Восстановлением («аль-джебр») аль-Хорезми назвал операцию исключения из обеих частей уравнения вычитаемых членов путем добавления противоположных по знаку. Противопоставление («аль-мукабала») — это сокращение в частях уравнения одинаковых членов.

Взгляд уравнения как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число (разумеется, если оно не нуль). Главный принцип: если над равным количеством произвести одинаковые действия, то в результате снова получаются равные количества — стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль-Хорезми. Однако «палочкой» этой нужно пользоваться с осторожностью.

В сочинении аль-Хорезми неизвестные величины, так же как и все сопутствующие выкладки и преобразования уравнений, выражались словесно.

Такой стиль изложения, характерный для раннего этапа развития алгебры, историки науки называют риторическим (красноречивым).

Новый великий прорыв в алгебре связан с именем французского ученого XVI в. Франсуа Виета. Он первым из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (х, y или z) мы обязаны соотечественнику Виета — Рене Декарту.

Изобретение Виета позволило гораздо легче находить самые общие решения для многих, похожих одна на другую задач. Предположим, со станции, находящейся в 160 км от Москвы, в направлении от столицы выезжает поезд со скоростью 85 км/ч. Через какое время он окажется на расстоянии 500 км от Москвы? Как изменится решение, если поезд отправляется со станции, удаленной на 359 км от столицы, а скорость его движения 70 км/ч? Эти две задачи отличаются лишь исходными данными, поэтому допускают запись условия в общем виде. Если поезд отправляется из пункта, расположенного в а км от Москвы, в противоположную от него сторону со скоростью v км/ч, то для того, чтобы достичь расстояния b км от столицы, ему понадобится время t. Условие выражается уравнением

а+ vt=b.

Решая это уравнение относительно неизвестного t, находим

t=

Это общая формула, которая охватывает все частные случаи для конкретных числовых параметров a, b, v. Например, полагая а=160 км, b=500км, v=85 км/ч, получаем

t=

Если же а=395 км, b=500 км, v= 70 км/ч, то

t=

Формула одна, а решения разные. Поистине «математика — это искусство давать различным вещам одно и то же название». Этот остроумный и глубокий афоризм принадлежит Анри Пуанкаре, создателю многих современных областей математики. В работе «Наука и метод» Пуанкаре особо выделял способность ученого не просто видеть голые факты, а заглядывать гораздо глубже — познавать душу фактов, производить обобщения: «Простым примером является алгебраическая формула, которая дает нам решение всех численных задач определенного типа, так что достаточно лишь заменить буквы числами. Благодаря такой формуле алгебраическое вычисление, однажды выполненное, избавит нас от необходимости повторять без конца все новые и новые численные выкладки» .

Слова Пуанкаре необычайно актуальны в наш век всеобщего триумфа компьютерной техники. Умницыкомпьютеры научились понимать язык алгебраических формул и способны перерабатывать (т.е. вычислять по этим формулам) огромные массивы числовых данных. Нужно только подбирать и вводить исходные числа, чтобы получить готовые ответы.

Глава 2. Решения уравнений и способы их упрощения

Уравнением с одним неизвестным называется запись вида, А (х)=В (х) — выражения от неизвестного х. В эти выражения помимо чисел, знаков арифметических операций и обозначений функций могут входить и другие буквы, которые обозначают переменные, называемые параметрами.

Областью определения уравнения (иногда говорят — область допустимых значений неизвестного) называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.

Корнем или решением, уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнении получается верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейные и квадратные уравнения, а также уравнения вида f (х)=а, где f — одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Например, корень уравнения х³ =а равен, корень уравнения log ₃х = а есть 3^а, а уравнение cos х = а решается по формуле х= arcos, а + 2Пп, где п=о, 1, 2,…Существует формула и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

Так вот, главная задача при решении любого уравнения — свести его к простейшим.

Два основных способа упрощения уравнений — это замена переменной и разложение на множители.

Например, биквадратное уравнение х⁴+ах²+b=0 сводится к квадратному заменой y=х², а тригонометрическое уравнение 2cos²х +cos х — 1= 0 — заменой y= cos х. вообще, если вы сумели записать уравнение в виде F (f (x))=0, сделайте замену y=f (x). Решить два уравнения, f (y)=0 и f (x)=y, почти всегда проще, чем одно данное.

Разложить уравнение на множители — значит представить его в виде f (x) ^. g (x)=0.Такое уравнение можно заменить совокупностью двух уравнений: f (x)=0 и g (x)=0.Множеством решений исходного уравнения будет объединение множеств решений этих двух более простых. Правда, здесь спрятана и одна из ловушек. При замене одного уравнения двумя может расшириться область определения задачи: первое уравнение определено на пересечении областей определения f и g, а совокупность двух уравнений — на объединении. Так, уравнение (х+1)=0 имеет только один корень (х=0), совокупность же уравнений =0 и х+1=0 — два (х=0 и х= -1).

Рассмотрим уравнение

х³ — 3х — 2=0.

Один корень легко угадать: х= -1.

Как найти остальные? Можно доказать, что если х₀ — корень многочлена P (х), то это многочлен делится на х — х₀, т. е. разлагается на множители, один из которых х — х₀. Выполним это разложение — вынесем из левой части множитель х+1:

х² — 3х — 2=х³+х² — х² — 3х — 2= х² (х+1) — (х²+х) — 2х — 2= (х+1) (х² -х -2).

Обратим внимание на используемый при этом прием — прибавление и вычитание одного и того же выражения (…=х² — х…). Этот нехитрый, но очень полезный прием носит шутливое название «метод Тараса Бульбы» (вспомним: «Я тебя породил, я тебя и убью!»). Ну, а дальше остается решить квадратное уравнение.

Таковы главные способы упрощения. Однако догадаться какую именно замену следует применить или как разложить на множители конкретное уравнение, порой бывает очень трудно. Успех здесь зависит от знания стандартных формул, опыта, смекалки и в большой мере — от удачи.

Глава 3. Использование уравнений при решении задач

Язык алгебры — уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический» , — писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический, Ньютон показал на примерах. Вот один из них:

Чтобы определить первоначальный капитал купца, остается только решить последнее уравнение.

Решение уравнений — зачастую дело нетрудное: составление уравнений по данным задачам затрудняет больше. Вы видели сейчас, что искусство составлять уравнения действительно сводится к умению переводить «с родного языка на алгебраический». Но язык алгебры весьма немногословен; поэтому перевести на него удается без труда далеко не каждый оборот речи. Переводы попадаются различные по трудности и мы покажем на различных примерах составление уравнений первой степени.

ЗАДАЧА 1.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице — надписи, составленной в форме математической задачи. Мы приведем эту надпись.

РЕШЕНИЕ Решив уравнение и найдя, что х=84, узнаем следующие черты биографии Диофанта; он женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года.

ЗАДАЧА 2.

Вот еще несложная старинная задача, легко переводимая с родного языка на язык алгебры.

" Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу.

" Чего ты жалуешься? — отвечал ей мул. — Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелей твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей". Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько нес мул?" .

РЕШЕНИЕ

Мы привели задачу к системе уравнений с двумя неизвестными:

Решив ее, находим: х=5, у=7. Лошадь несла 5 мешков и 7 мешков — мул.

ЗАДАЧА 3.

У четырех братьев 45 рублей. Если деньги первого увеличить на 2 рубля, деньги второго уменьшить на 2 рубля, деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех окажется поровну. Сколько было у каждого?

РЕШЕНИЕ

Расчленяем последнее уравнение на три отдельных:

х+2=у — 2,

х+2=2z, x+2=,

откуда у=х+4,

z=

t=2x+4.

Подставив эти значения в первое уравнение, получаем:

х+х+4++2х+4=45,

откуда х=8. Далее находим: у=12, z=5, t=20. Итак, у братьев было: 8 руб., 12 руб., 5 руб., 20 руб.

ЗАДАЧА 4.

У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной — 30 локтей, другой — 20 локтей; расстояние между их основаниями — 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили одну рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли е одновременно.

На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

РЕШЕНИЕ

Из схематического чертежа на рисунке, пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем:

АВ²=30²+х², АС²=20²+ (50-х)².

Но АВ=ВС, так как обе птицы пролетели эти расстояния в одинаковое время.

Поэтому

30²+х²=20²+ (50-х)².

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем уравнение первой степени 100х=2000, откуда х=20.

Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

уравнение переменная корень задача

Заключение

На основании анализа содержания реферата можно сделать следующие выводы.

Наука математика возникла на первых этапах развития человечества из его практических нужд и творческих потребностей. Герман Вейль писал: «Математика играет весьма существенную роль в формировании нашего духовного облика. Занятие математикой — подобно мифотворчеству, литературе или музыке — это одна из наиболее присущих человеку областей и его творческой деятельности, в которой проявляется его человеческая сущность, стремление к интеллектуальной сфере жизни, являющейся одним из проявлений мировой гармонии.»

В настоящее время математика достигла своего расцвета, она является основой большинства современных наук, а ее приложения используются во всех областях человеческой деятельности.

Большим значением в практической математике является метод уравнений. С их помощью решаются множество различных задач смежных дисциплин и задач прикладного характера (экономические, транспортные, биохимические, астрономические, географические и многие другие)

Уравнения возникли в глубокой древности со времен великого багдадского ученого Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми, именно он стал одним из первых создателей простейших уравнений. Однако в его сочинениях неизвестные величины выражались лишь словесно. Но его способы решения этих словесных уравнений оказались сложными, а облегчил их великий французский ученый XVI века Франсуа Виет. Он первый из математиков ввел буквенные обозначения для неизвестных величин и стал главным создателем алгебраической символики. Виет писал: «Искусство, которое я излагаю, ново или, по крайней мере, настолько испорчено временем, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид…» И теперь идеи Виета являются востребованными, уравнения и в наши дни записываются так, как предложил Виет.

Чтобы решить уравнение нужно совершить ряд алгебраических преобразований. Так вот самый значимый способ решения уравнений является способ их упрощения или замена переменной и разложения на множители. Этот нетрудный метод приобрел огромное значение в преобразовании и решении уравнений.

В математике существует множество задач, которые решаются с помощью уравнений. Чтобы решить эти задачи, мы вспоминаем слова великого Ньютона, задачу нужно перевести с родного языка на язык алгебры.

Используя данный способ, мы сможем легко и быстро решить любую, на первый взгляд сколь угодно сложную, задачу.

Опираясь на данное изложение, мы хотели бы сказать, что современный мир — мир развития науки и техники, невозможен без знания и умения решать уравнения.

Список используемой литературы

1. Энциклопедия Т. 11. Математика/ Глав. ред. М. Д. Аксенова. — М.: Аванта+, 1999. — 688 с.: ил.

2. Я. И. Перельман — Занимательная алгебра. — М., 1975 г., 200 стр. с илл.

3. Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. — Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. — 4-е изд., перераб. И доп. — М.: Просвещение, 1984. — 160 с., ил.

4. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ. — мат. фак. пед. институтов. М., «Просвещение», 1975