Планирование и управление запасами

Задание 1.

Объем продаж некоторого магазина составляет N=88рулонов обоев в месяц. Причем спрос равномерно распределен в течение месяца. Магазин производит заказ партии обоев непосредственно у производителя по цене Ц_{з=35 д.е. за рулон. Время доставки заказа от поставщика составляет t=10 рабочих дней (при 6-дневной рабочей неделе). Стоимость подачи заказа составляет Спод=88 д.е., а издержки хранения Схр— 20% среднегодовой стоимости запасов.}

Требуется:

• 1. Найти оптимальный размер заказа обоев у производителя, обеспечивающий минимум годовой общей стоимости запаса единицы продукции.
• 2. Найти интервал и уровень повторного заказа. Принять, что магазин работает 300 дней в году.
• 3. Показать, является ли выгодной для магазина скидка S=2% при заказе размера партии более 500 рулонов.

РЕШЕНИЕ Общая стоимость запасов в год (С_зап) является суммой общей стоимости подачи в год и общей стоимости хранения запасов в год (рис. 1.1).

Рисунок 1.1 Зависимость стоимости и объема заказов Если потребность в обоях составляет N рулонов в месяц, а каждый заказ подается на партию вq рулонов, то ежегодное количество заказов составит:

(1.1).

а ежегодная стоимость подачи заказа:

В простейшей ситуации, когда уровень запасов изменяется линейно (по времени) и принадлежит промежутку от q до 0, средний уровень запасов равен q/2. Тогда ежегодная стоимость хранения определяется по формуле:

(1.3).

и, следовательно, общая стоимость запасов в год составляет:

(1.4).

или.

(1.5).

Нетрудно заметить, что если размер заказа невелик, то стоимость подачи заказа является доминирующей. В этом случае заказы подаются часто, но на небольшое количество продукции. Если размер заказа является достаточно большим, основной компонентой становиться стоимость хранения — делается небольшое число заказов, размер которых достаточно велик.

Если принять во внимание стоимость закупки продукции, то можно рассчитать общую годовую стоимость закупки и хранения:

С=С_зап+С_зак, (1.6).

где С_зак— стоимость закупки обоев:

С_зак=12NЦз (1.7).

Путем дифференцирования (1.5.) получим, что стоимость запасов С_{запбудет минимальна, если объем заказа будет равен:}

(1.8).

Полученный объем называется экономичным размером заказа (EOQ).

Исходя из условия, он равен:

Количество заказываемых рулонов должно быть целым, поэтому в качестве EOQ выберем значение 163. Минимальное значение стоимости запасов равно:

д.е.

Общая стоимость закупки и хранения запасов в год:

С=1140,61+128 835=38100,61.

Таким образом, стоимость запасов составляет 3,0% общей стоимости в год.

Заказ новой партии обоев необходим по истечении периода, равного q/(12*N). Если в году 300 рабочих дней, то интервал повторного заказа равен:

дней (1.9).

Т.е. для нашего примера:

=43 рабочий день Объем продажи обоев за 10 дней поставки составит:

рулонов Следовательно, уровень повторного заказа равен 35 рулонам, т. е. подача нового заказа производиться в тот момент, когда уровень запасов равен 35рулонам.

Если магазин захочет получить скидку производителя, то размер партии увеличится, поскольку в этом случае она должна составлять не менее 500 рулонов в год, тогда как в настоящий момент уровень запасов составляет 163 рулона. Будет ли скомпенсировано увеличение издержек хранения снижением закупочной цены и стоимости подачи заказа?

Из вышеизложенных расчетов имеем, что при закупочной цене 35 д.е. значение общей годовой стоимости составляет 38 100,61 д.е. Рассмотрим вариант, когда закупочная цена с учетом скидки 2% равна 34,3д.е. Оптимальный уровень запаса равен:

т. е. 165

Полученное значение меньше, чем 500. Следовательно, оптимальный объем заказа, соответствующий новой цене, не является допустимым. Минимально возможная стоимость за год будет равна:

д.е.

Очевидно, что предоставляемая производителем скидка невыгодна магазину, так как приводит к увеличению общей стоимости на 21,05 д.е.

Задание 2.

Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока составляет b=35д.е. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока, отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока к нему обойдется в a=1300 д.е. Опытное распределение агрегатов по числу блоков, потребующих замену, представлено ниже.

Требуется:

Определить оптимальное число запасных блоков, которое необходимо приобрести вместе с агрегатом.

Подтвердить полученное значение аналитическим путем.

РЕШЕНИЕ Обозначим через sуровень запаса. Если спрос rниже уровня запаса s, то появляются издержки из-за омертвления средств и увеличиваются затраты на хранение запаса bд.е. на единицу. И, наоборот, если спрос rвыше уровня запаса s, то это приводит к «штрафу» за дефицит aд.е. на единицу.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривается её среднее значение или математическое ожидание. В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения Р®, математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

(1.11).

В выражении (1.11) первое слагаемой учитывает затраты на хранение излишка s-rблоков (при rs), а второе — штраф за дефицит на r-s блоков (при rs).

Рассмотрим численное решение задачи при b=35 д.е., a =1300 д.е.

На основании (1.11) подсчитаем ожидаемый суммарный расход при различных уровнях запасов, т. е. от1 до5:

=130,2 д.е.

=108,55 д.е.

=113,6д.е.

=172,05д.е.

=364д.е.

Оптимальный уровень запасов равен4.

Аналитическое решение задачи основано на том, что при дискретном случайном спросе r выражение (1.11) минимально при запасе r_{о, удовлетворяющем неравенству:}

(1.12).

где F (s) — функция распределения спроса r:

F (s)=P (r s) (1.13).

F (s_о), F (s_о+1) — её значения;

— плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса:

0 1 (1.14).

Учитывая (1.13), найдем значения функции распределения спроса:

Воспользовавшись формулой (1.14), имеем:

Проверяем выполнение условия (1.12):

0,97 0,974 0,99

Очевидно, что аналитическое решение задачи подтверждает, что оптимальным уровнем запаса является s = 4.