Египетские дроби. 
Характеристика египетских дробей

Египетская дробь в математике — это сумма нескольких попарно различных дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, несколькими способами).

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф.

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

У них также были специальные символы для дробей ½, 2/3 и ¾ (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем ½).

Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (Уаджет). Для древних характерно переплетение образа Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных сакральных символов. В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз — чудесное око — и разрывает его в клочья. Тот — бог учения, разума и правосудия — снова сложил части глаза в одно целое, создав «здоровый глаз Гора». Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от ½ до 1/64. Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида ½k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел.

Иероглиф.	Значение.	Примерная величина.
большая часть глаза.	½ (или 32/64).
зрачок.	¼ (или 16/64).
бровь.	1/8 (или 8/64).
меньшая часть глаза.	1/16 (или 4/64).
капля слезы (?).	1/32 (или І/64).
знак сокола (?).	1/64.
Уаджет.	63/64.

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 л), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката. египетский дробь алгоритм число При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Во времена Античности и Средневековья Египетские дроби продолжали использоваться. Математики древней Греции, а впоследствии и всего мира до средних веков использовали Египетские дроби, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой.

Исследования египетских дробей.

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь разлагается на 2 слагаемых:

Здесь — частное от деления n на m, округлённое до целого в бомльшую сторону, а — (положительный) остаток от деленияn на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

Современная теория чисел В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

В конце прошлого века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские.

Гипотеза Эрдёша" -Грэхема (en:Erdхs-Graham conjecture) утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых такое, что.

Эта гипотеза доказана Эрнестом Крутом (en:Ernest S. Croot, III) в 2003 году.

И по сей день Египетские дроби ставят ряд трудных нерешенных математических проблем.

Гипотеза Эрдёша—Страуса (en:Erdхs-Straus conjecture) утверждает, что для всякого целого числа n? 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n? 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N такое, что для всех n? N существует разложение.

Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю (en:Andrzej Schinzel).