Быстрый метод расчета равновесия системы жидкость—жидкость

При итерационном расчете ректификации расслаивающихся смесей необходимость многократных расчетов равновесия жидкость—жидкость на каждой тарелке колонны приводит к тому, что необходимое время расчета данного процесса много больше, чем время расчета обычного вида ректификации. Поэтому очень важно разработать очень быстрый и эффективный метод расчета равновесия жидкостьжидкость для расслаивающихся смесей.

Рассмотрим следующие функции рассогласования:

— равновесных соотношений.

— стехиометрического соотношения.

где fj, Q — функции рассогласования; Кц — константа равновесия жидкость-жидкость для j-го компонента; /3 — фактор расслаивания (мольная доля одной из жидких фаз).

Система нелинейных уравнений (7.23), (7.24) может быть решена методом Ньютона-Рафсона. В качестве независимых переменных выбирают константы равновесия Kq системы жидкость-жидкость и фактор расслаивания /3:

Вектор функций невязок:

Вектор искомых переменных на итерации (т+1):

где а- корректирующий фактор; Лх^<" ''^|) — вектор приращений.

Якобиан, необходимый для определения вектора приращений ДЗс, имеет вид:

Процедура итерационного расчета равновесия системы жидкость-жидкость по предлагаемому методу заключается в следующем.

• 1. Задают начальные значения констант равновесия жидкость-жидкость Кц и значение фактора расслаивания /3.
• 2. Вычисляют составы фаз.
• 3. По вычисленным значениям концентраций х}^х х/²⁾ рассчитывают коэффициенты активности компонентов у/ * и Ту •
• 4. Рассчитывают значения функций невязок fj, Q и проверяют условия сходимости:

Если условия сходимости выполняются, то расчет заканчивается. В противном случае переходят к следующему этапу расчета.

5. Определяют новые значения коэффициентов активности компонентов и фактора расслаивания. Далее расчет повторяется с пункта 2.

Производные функций рассогласований равновесия и стехиометрического соотношения, необходимые для решения системы уравнений по методу Ньютона-Рафсона, находятся следующим образом.

Производные функций равновесных соотношений по коэффициентам активности определяют дифференцированием соотношения (7.23):

ду — символ Кронекера:

Производные концентраций компонентов в фазах по константам равновесия жидкость-жидкость, входящие в правые части соотношений (7.25), (7.26) находят дифференцированием соотношений (7.39) и (7.40).

Производные от коэффициентов активности у по концентрациям _Xj определяют исходя из конкретной корреляционной зависимости коэффициентов активности компонентов от состава и температуры. Если принять в качестве такой зависимости уравнение НРТЛ, то, дифференцируя соотношение (7.22), получаем следующее выражение для расчета производных коэффициентов активности по концентрациям:

Производные функций равновесных соотношений по фактору расслаивания определяют в виде.

Производные концентраций компонентов по фактору расслаивания, входящие в правые части. соотношений (7.27) и (7.28) находят дифференцированием соотношений (7.39) и (7.40):

Производные функции стехиометрического соотношения.

Сравним предлагаемый метод расчета равновесия жидкость-жидкость с методом последовательных итераций. В последнем фактор расслаивания /? и константы равновесия К и определяют последовательно. При данных значениях констант равновесия жидкость-жидкость фактор расслаивания определяют из стехиометрического соотношения. Получив фактор расслаивания жидкости и решая уравнения равновесия, определяют новые составы равновесных жидких фаз и значения констант равновесия. Исходя из полученных значений констант равновесия находят новое значение фактора расслаивания жидкости и т. д.

В предлагаемом методе одновременно решаются уравнения равновесия и стехиометрического соотношения. Поэтому итерационный процесс значительно ускоряется. Для конкретной системы нетрудно подобрать начальные значения констант равновесия жидкость-жидкость, которые обеспечивают сходимость итераций при решении системы уравнений равновесия и уравнения рассогласования стехиометрического соотношения по методу Ньютона-Рафсона.

Для сравнения предлагаемого метода с методом последовательных итераций был проведен расчет равновесия жидкость-жидкость в системе вода-н-бутанол-толуол при 30 °C. Для выражения зависимости коэффициентов активности от состава использовали уравнение НРТЛ. Параметры уравнения НРТЛ, необходимые для расчета равновесия жидкостьжидкость в указанной системе, приведены в табл.7.8. Расчет равновесия жидкость-жидкость проведен по предлагаемому методу последовательных итераций.

Сравнение результатов расчета равновесия системы жидкость-жидкость показано в табл. 7.9, 7.10.

Таблица 7.8. Параметры уравнения НРТЛ для расчета равновесия жидкость-жидкость в системе вода (1)-н-бутанол (2)-толуол (3).

Таблица 7.9. Результаты расчета равновесия жидкость-жидкость.

Таблица 7.10. Продолжительность расчета равновесия жидкостьжидкость по ускоренному и методу последовательных итераций.

Как видно, полученные равновесные составы фаз в обоих методах одинаковы, но продолжительность расчета в предлагаемом методе значительно меньше.