Метод Гаусса, Холецкого, Жордана

1. В соответствии с вариантом задания решить систему линейных уравнений по методу определителей

где

= 0

= 0,6

Разделили 1-ю строку на 2.1

Умножили 1-ю строку на 3

Вычли 1-ю строку из 2-й и восстановили ее Умножили 1-ю строку на -6

Вычли 1-ю строку из 3-ей и восстановили ее Восстановили 1-ю строку до первоначального вида. Разделили 2-ю строку на 8.92 857 142

Умножили 2-ю строку на -9.357 142 857

Вычли 2-ю строку из 3-ей и восстановили ее Восстановили 2-ю строку до первоначального вида Умножили числа главной диагонали

2.1*(-8.92 857 142)*7.15 714 285=80.3 699 999

2. В соответствии с вариантом задания решить систему методом исключения (методом Гаусса)

Преобразуем второе уравнение системы Для этого введем множители А⁽⁰⁾=

В⁽⁰⁾=

Преобразуем третье уравнение системы Для этого введем множитель А⁽¹⁾=

В⁽¹⁾=

Находим х₃

Находим х₂

Находим х₁

3. В соответствии с вариантом задания решить систему по методу Жордана

Умножим уравнение (строку) 1-ую на 1,42 857 142

Прибавим получившееся уравнение к 2-му уравнению. Уравнение 1 не изменится в исходной системе Умножим коэффициенты уравнения 1 на 2.85 714 285

Прибавим получившееся уравнение к уравнению 3. Уравнение 1 не изменится в исходной системе

Умножаем коэффициенты уравнения 2 на 1.048

Прибавим получившееся уравнение к 3 уравнению Обратный ход Коэффициент уравнения 3 разделим на 4.2864

Умножим коэффициент уравнения 3 на 2. Прибавим получившееся уравнение к 1 уравнению Умножим коэффициенты 3 уравнения на -7.15 714 285

Прибавим получившееся уравнение к уравнению 2

Коэффициенты уравнения 2 разделим на 8.92 857 142

Умножим коэффициенты уравнения 2 на 4.5, прибавим получившееся уравнение к уравнению 1

Коэффициенты уравнения 1 разделим на 2.1

х₁=1.43 765 086

х₂=-4.55 979 843

х₃=2.53 407 988.

4. Решить систему по методу Холецкого

А=

Представим матрицу в виде произведения нижней треугольной матрицы и верхней треугольной матрицы с единичной диагональю, то есть

b₁₁=a₁₁=2.1

b₂₁=a₂₁=3.0

b₃₁=a₃₁=-6.0

C₁₂=

C₁₃=

b₂₂=a₂₂-b₂₁C₁₂=2.5 — (-2.14 285 714)*3.0=8.92 857 142

b₃₂=a₃₂-b₃₁C₁₂=3.5 — (-6)*(-2.14 285 714)=-9.35 714 284

C₂₃==

b₃₃=a₃₃-b₃₁C₁₃;

b₃₂C₂₃=

Находим у₁

2,1y₁=18.47

y₁=8.79 523 809

Находим y₂

3.0y₁+8.9 285 7142y₂=3,81

y₂=-2,52 848 000

Находим y₃

— 6,0y₁+(-9.3 571 4284y₂)+4.286 3999y₃=-18.25

4.286 3999y₃=10.86 208 002

y₃=2.53 407 988

x₃=y₃=2.53 407 988

x₂=y₂ — C₂₃x₃=-4.55 979 843

x₁=1.43 765 086.

Выводы

система уравнение жордан холецкий По проделанной работе, можно определить недостатки и достоинство методов. Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Существенным недостатком метода Гаусса является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от коэффициентов и от свободных членов. Достоинством является — менее трудоёмкий по сравнению с другими методами. Метод определителя является самым простым способом, но существуют так же и недостатки, например, как чувствительность к ошибкам округления.