Изучение характера связи между признаками двух случайных величин

Курсовая работа на тему:

" Изучение характера зависимости между признаками двух случайных величин"

Постановка задачи

Даны 100 пар чисел:, i=1…N, N=100.

Значения Х показывают, насколько экологическая обстановка в некоторых регионах благоприятна для постоянного проживания там людей. (Предполагается, что каждое значение — некоторый коэффициент, полученный при анализе данных экологической обстановки).

Величина Х отражает интенсивность миграции населения некоторых регионов: объём оттока населения из них.

Задачей данной курсовой работы является изучение характера зависимости от. Для этого необходимо:

1. В виде точечной диаграммы (в программе Excel) изобразить на плоскости точки .

2. С помощью метода наименьших квадратов определить числа a, b такие, что прямая наименее отклоняется от точек в среднем квадратичном.

3. Методом наименьших квадратов определить значения p, q, r такие, что парабола Y=pXІ + qX + r наименее отклоняется от точек в среднем квадратичном.

4. Сравнить результаты, полученные в пунктах 2 и 3.

5. При помощи сравнения статистик

, ,

где, N — объём выборки, Ответить на следующие вопросы:

1) Подтвердилась ли гипотеза о том, что зависимость между и близка к линейной?

2) Подтвердилась ли гипотеза о том, что зависимость между и близка к квадратичной?

3) Какая из двух кривых — прямая или парабола — меньше отклоняется от точек выборки?

Построение диаграммы рассеивания

Диаграмма рассеивания — это точки на плоскости, координаты которых соответствуют значениям случайных величин X и Y. Дана выборка i=1…100.

Чтобы построить диаграмму рассеивания нужно отформатировать шкалу делений по оси абсцисс и ординат. Для нахождения соответствующего масштаба найдём

50,317, 99,948

191,078, 268,649

Размах выборки по X и Y определяется

|max X — min X | = 49,631

|max Y — min Y| = 77,412

Построим диаграмму рассеивания X и Y.

Диаграмма рассеивания наглядно демонстрирует, что (по большей части) чем лучше состояние окружающей среды того или иного региона, тем меньше отток населения из него.

Теперь вычислим выборочные параметры: выборочные средние, выборочные дисперсии средние квадратические отклонения и найдём выборочный коэффициент корреляции по формуле

Выборочные средние значения:

Выборочные дисперсии:

Средние квадратические отклонения:

Рассчитываем коэффициент корреляции:

Так как ближе к 1, чем к 0, можно сделать вывод о том, что зависимость между X и Y достаточно тесная.

Нахождение коэффициентов и построение графика линейного приближения

Величины X и Y могут быть функционально зависимы, но по результатам измерений значений этих величин сложно установить вид фактической зависимости. Метод наименьших квадратов — один из важнейших способов оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки и нахождения зависимости между X и Y. Суть метода в том, что условием оценки является минимизация суммы квадратов отклонений выборочных данных от определяемой оценки.

Вычислим сумму квадратов отклонений точек прямой от выборочных значений Y:

Необходимо взять такие A и B, чтобы F (A, B) достигала своего минимума как функция переменных, А и В.

Минимум функции двух переменных должен удовлетворять необходимому и достаточному условию существования минимума. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных — равенство нулю частных производных первого порядка. Получаем систему уравнений:

Раскроем скобки и получим следующее:

Введём замену:

, , , = d, N=100. Получим:

Из этой линейной системы уравнений найдём, А и В методом Гаусса, выполнив некоторые преобразования: А = -0,9337; В = 303,2533. Получим стационарную точку (-0,9337; 303,2533) для F (A; B).

Следующий шаг — проверка того, что в найденной точке выполняется достаточное условие минимума: второй дифференциал функции F (A; B) в точке (-0,9337; 303,2533) должен представлять собой строго положительную квадратичную форму. Для этого достаточно, чтобы существовали вторые частные производные функции F (A; B) по всем переменным, и величины в точке (-0,9337; 303,2533).

Найдём вторые частные производные функции F (A; B) и .

.

Так как-то в точке (-0,9337; 303,2533) минимум функции F (A; B). Поэтому уравнение прямой принимает вид: Y=-0,9337X+303,2533.

Построим график линейной регрессии.

Теперь определим коэффициент линейной регрессии. .

Можно применить это для вычисления коэффициента корреляции r:

плоскость координата график квадратичный Как видно, это значение практически совпадает с тем, что мы вычислили ранее.

Нахождение коэффициентов и построение графика квадратичного приближения

Для нахождения формулы y = pxІ + qx + r построим функцию среднеквадратичного отклонения F (p, q, r) = .

Найдём точку минимума функции трёх переменных F (p, q, r), которая находится среди стационарных точек этой функции (по необходимому условию минимума). Система для нахождения стационарных точек:

Произведём замену:

Перейдём к системе вида:

Эта система линейна относительно неизвестных p, q, r. Решив её методом Гаусса, найдём стационарную точку функции ().

Теперь, используя достаточное условие, покажем, что функция F (p, q, r) имеет в этой точке минимум. Для этого выписываем второй дифференциал функции F (p, q, r).

++

Найдём значения вторых частных производных в точке ():

Теперь необходимо доказать, что полученная квадратичная форма положительно определена:

++

Воспользуемся для этого критерием Сильвестра. Его суть заключается в том, что для того, чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны.

Так как

++

>0.

Следовательно, уравнение квадратичной регрессии имеет вид

Y=

Построим график квадратичной регрессии

Графическое сопоставление линейной и квадратичной зависимостей

Построим на одном графике заданные точки, графики линейного и квадратичного приближений.

Нахождение статистик и их анализ

Используя следующие формулы, вычисляем статистики :

, ,

Где, N — объём выборки,

.

Сравним статистики:

Показатели (1) и (2) характеризуют процент уменьшения статистик и относительно статистики, которую можно назвать базовой, а показатель (3) — процент уменьшения статистики относительно .

Можно сделать следующие выводы:

1) Гипотеза о том, что зависимость между и близка к линейной, подтвердилась, так как .

2) Гипотеза о том, что зависимость между и близка к квадратичной, также подтвердилась, так как .

3) Однако, сравнив статистики, получаем, что. Отсюда следует, что параболическое приближение — наиболее точное.

4) Коэффициент корреляции, равный -0,783, показывает, что связь между величинами Х и Y довольно тесная, как это и было видно на диаграмме рассеивания: за исключением отдельных точек, при улучшении состояния окружающей среды (увеличении Х) наблюдается тенденция уменьшения оттока населения из некоторых регионов в другие (уменьшение Y). Те самые отдельные точки — регионы, в которых объём эмиграционных потоков не столь явно связан с экологией.