Становление и развитие технологии укрупнения дидактических единиц. 
Блоки взаимосвязанных задач

С античных времен в науке известна фундаментальная философская проблема целостности (проблема соотношений части и целого), положившая начало возникновению и развитию идеи укрупнения. С течением времени данная идея в том или ином качестве находит свое отражение во многих научных областях (педагогике, психологии, теории познания сложных систем и др.). При этом в методике преподавания математике она впервые получила статус дидактической проблемы. Поскольку именно методист-математик П. М. Эрдниев, взяв эту идею за основу, с 60-х годов прошлого столетия начал разрабатывать одноименную теорию — теорию укрупнения дидактических единиц (УДЕ).

Согласно работам П. М. Эрдниева, центральной мыслью теории УДЕ явилось положение о необходимости осуществления укрупненного подхода к содержанию учебного материала, предполагающего совместное рассмотрение, в связях и переходах, целостных групп родственных (взаимосвязанных) единиц этого содержания, или, более коротко, рассмотрение таких единиц крупными блоками. В дальнейшем это положение облеклось в авторских разработках в форму одного из методических приемов, способствующего реализации данной теории на практике: приема совместного и одновременного изучения взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т. п. (в частности, взаимно обратных). Данный прием, по мнению многих исследователей, выполняет основную функциональную нагрузку в осуществлении укрупненного подхода к учебному материалу, а остальные — как бы подчинены ему, хотя каждый из них может использоваться как вполне самостоятельный. К таким «вспомогательным» приемам относят:

• 1) применение в процессе обучения деформированных упражнений;
• 2) использование метода обратных задач;
• 3) обращение структуры упражнений;
• 4) освоение и составление школьниками графсхем суждений и доказательств;
• 5) матричная (табличная) фиксация учебной информации;
• 6) усиление удельного веса творческих заданий. Однако несмотря на относительную самостоятельность каждого из перечисленных приемов, больший эффект в учебном процессе достигается посредством их комплексного применения. Это в значительной степени способствует формированию у учащихся системных знаний и обобщенных умений, обеспечивает создание у них целостных представлений об окружающей действительности, развитие познавательного интереса к предмету, а также интенсифицирует процесс обучения за счет использования резервных механизмов мышления обучаемых. При этом резко снижается нагрузка на ученика и значительно сокращается расход учебного времени (по разным данным от 15% до 30%).

Благодаря таким показателям, теория УДЕ заинтересовала многих исследователей. Начались поиски возможностей некоторого совершенствования ее приемов и основных положений.

Примером такого практического изменения в методике преподавания математики может служить обучение по системе В. Ф. Шаталова, когда на уроках учитель использует так называемые листы с опорными сигналами, представляющими собой систему взаимосвязанных ключевых слов, условных знаков, рисунков, чертежей, с помощью которой кодируется крупная единица, блок информации — учебный раздел, тема или несколько параграфов. То есть лист с опорными сигналами — это действительно один из вариантов образования блоков из учебного материала. Также можно выделить иные формы блочного изложения учебного материала, используемые при изучении и других учебных дисциплин (опорные конспекты, структурно-логические схемы, обобщающие и сводные таблицы, блок — конспекты и т. д.), а также блочное представление учащимся школьных задач, в частности, математических. В качестве примера преобразования теоретических положений теории УДЕ по П. М. Эрдниеву в контексте обучения математике можно привести направление, представляемое в работах А. К. Артемова и обозначаемое им как изначальное формирование у учащихся обобщенных умений в максимально возможной широте обобщения. Анализ этого направления показывает, что при его реализации движение человеческой мысли, как правило, осуществляется от общего к частному, что качественно отличает его от варианта П. М. Эрдниева, представляющего скорее индуктивный путь укрупнения знаний.

Согласно П. М. Эрдниеву выделяются следующие принципы технологии УДЕ, базирующиеся на соответствующих им закономерностям и реализующиеся через систему правил:

Принцип перехода педагогического управления в самоуправление учащихся в учебной деятельности опирается на следующую закономерность: в развитии творческих способностей учащихся достигается тем большая эффективность, чем больше используются возможности и средства самоуправления учащихся.

Правила реализации этого принципа:

• 1) все, что учащиеся в учебной деятельности способны выполнить без помощи извне, они должны выполнять самостоятельно;
• 2) учащиеся должны учиться самостоятельно, составлять и формулировать обратные задачи, решать их, тем самым формировать процесс работы с задачей, вырабатывать навык самопроверки;
• 3) в учебный процесс должны включаться задания не только по решению задач, но и самостоятельного их составления по указанной формуле, аналогичные, усложненные;
• 4) учитель должен систематически использовать возможность самоорганизации учащихся и преимущественно опираться на средства косвенного и перспективного управления учебной деятельностью. При этом под косвенным управлением имеется в виду управление деятельностью учащихся через подбор системы творческих задач и заданий.

Принцип обращения структуры упражнений базируется на закономерности, установленной физиологами: в основе всей психической деятельности находятся циклические, кольцевые процессы, поток информации проходит по замкнутым путям [1, c. 198]. Принцип обращения структуры упражнений реализуется через следующие правила:

• 1) в систему упражнений должны включаться деформированные, обращенные задания;
• 2) составление обратных задач, когда искомым элементом последовательно выступает каждый элемент данного выражения (данной задачи).

Принцип системности знаний базируется на следующей закономерности: знания учащихся приобретают системные качества, а не становятся неорганизованным набором сведений, если освоение знаний осуществляется укрупненными порциями, и элементы знания образуют укрупненную единицу усвоения, лишь благодаря многообразным связям между этими элементами.

Принцип системности знаний реализуется через следующие правила:

• 1) совместное изучение взаимосвязанных вопросов, теорем, свойств, признаков;
• 2) построение блока задач на основе одной заданной ситуации;
• 3) не рассматривать на уроке вопросов, не вносить в план пунктов, на основательное рассмотрение которого не рассчитываете, и нет логической связи с предыдущим материалом;
• 4) повторение через преобразование знания, через его укрупнение;
• 5) использование схем, планов для того, чтобы обеспечить усвоение учащимися системы знаний.

Сформировавшаяся система знаний — важнейшее средство предотвращения их забывания. Забытые знания быстрее восстанавливаются в системе.

Принцип генерализации информации в процессе учебно-творческой деятельности в целях саморазвития творческих способностей личности. Поскольку информация — поток информации научных знаний — в мире с каждым годом увеличивается в геометрической прогрессии, то в любом виде учебно-творческой деятельности, в том числе и творческой, возникает потребность ее уплотнения — генерализации.

Правила реализации принципа:

• 1) уделить внимание применению общеучебных умений, искать общие способы, подходы решения творческих задач;
• 2) укрупнение должно представлять процесс восхождения от абстрактного к конкретному и воссоздание связей исходной единицы с общей структурой знания;
• 3) использование схем, планов, таблиц [11].

В тоже время, развитие теории УДЕ не ограничилось лишь рамками изучения учебного предмета математики. Многочисленные исследования в дидактике и частных методиках (С. В. Алещенко, П. Д. Васильева, Л. Д. Мунчинова, Г. И. Саранцев и др.) показали педагогическую эффективность ее использования в изучении и других учебных дисциплин: физики, химии, лингвистики и т. д. Вполне естественным следствием этого явилось некоторое преобразование отдельных приемов данной теории с учетом специфики того или иного предмета. Например, в химии была отмечена возможность параллельного изучения веществ с противоположными свойствами (кислород — водород). В физике появился так называемый укрупненный опыт, предполагающий одновременное проведение нескольких экспериментов, позволяющих комплексно раскрыть перед учениками сущность взаимосвязанных явлений, процессов, физических понятий и т. д.

В то же время в какой-то момент теория УДЕ стала развиваться и в ином направлении. А именно: она стала находить свое приложение не только в обучении учащихся начальной школы (как задумывалось изначально), но и средних и старших классов, а также студентов вузов и даже детей дошкольного возраста и аспирантов. При этом основные положения теории, как правило, всегда специализируются с учетом предметного содержания и возрастных особенностей обучаемых. Так, Б. П. Эрдниев и П. М. Эрдниев исследовали проблему единого изложения родственных вопросов двух предметов математического цикла, изучаемых в вузе (аналитической геометрии и линейной алгебры), в результате чего предприняли попытку создания единого укрупненного учебного предмета «Линейная математика».

Приведенный пример позволяет выделить еще одно специфическое преобразование теории УДЕ, направленное на установление внутрипредметных и межпредметных связей. Оно находит свое отражение в хорошо известной идее фузионизма, предполагающей совместное изучение планиметрии и стереометрии, и даже в документах, регламентирующий процесс обучения в средней школе. Поскольку в последних изданиях базисного плана образовательных учреждений Российской Федерации имеют место так называемые образовательные области, включающие в себя несколько учебных предметов на основе различных связей между ними.

Таким образом, теория укрупнения дидактических единиц с момента зарождения идеи укрупнения в целом прошла долгий путь своего развития, претерпевая различные изменения. Условно этот путь можно разделить на несколько основных этапов, наглядно представленных на рисунке 1 (двойными стрелками указаны переходы от одного этапа к другому):

• 1) неосознанное восприятие проблемы УДЕ;
• 2) ее четкое осознание как методической проблемы, разработка теории УДЕ;
• 3) совершенствование основных положений теории УДЕ.

В современный период с учетом вышесказанного можно выделить новый акцент в совершенствовании научных положений теории УДЕ. В большинстве ранних работ, связанных с исследованием различных аспектов данной теории, как правило, либо она сама выступает в качестве объекта исследования, либо, в противном случае, все варианты ее использования в учебном процессе рассматриваются через содержание изучаемых предметов. Тогда как в последнее время предметное содержание нередко характеризуется действиями. Например, содержание предмета математики может быть представлено совокупностью таких компонентов, как задачи, теоремы, математические понятия, методы решения задач и т. д., каждому из которых соответствует система конкретных действий. Подобные взгляды способствуют появлению работ, в которых реализуется укрупненный подход к формированию действий. Это позволяет сегодня рассматривать теорию УДЕ как динамичную и вариативную конструкцию обучения, которая еще не исчерпала своего творческого, исследовательского потенциала.

Рисунок 1.

Действительно, подобные взгляды привели И. В. Ульяновой деятельностной концепции УДЕ, реализующей в обучении укрупнённый подход к формированию действий, адекватных изучаемым содержательным компонентам обучения математике. В соответствии с данной концепцией основным средством формирования у учащихся соответствующих укрупнённых действий выступают блоки укрупнённых задач. Их можно легко образовывать, в частности, развивая тему решаемой задачи на заключительной стадии работы с ней. Этот этап — хороший полигон для развития творческой инициативы учащихся, вариативности и самостоятельности их мышления, поскольку его реализация, кроме всего прочего, предполагает составление новых задач, в том числе укрупняющих действия по решению исходной задачи. Остановимся на таких блоках более подробно.

В 1912 году на первом съезде преподавателей математиков в докладе К. Ф. Лебединцева [15] отмечалось, что «если пересмотреть сборники задач по всем отделам математики, то можно убедиться, что входящие в них задачи состоят из ряда вопросов, чисто механически связанных в одно целое». Впервые связать разрозненный задачный материал по математике попытался П. Цветков, уже спустя пару-тройку лет опубликовав сборник задач, расположенных по «новой системе», и методические рекомендации по их решению [10; 19], Под «новой системой» автор понимал задачи, взаимосвязанные между собой содержанием и решением. Построение данной системы П. Цветков осуществлял на основе простой задачи с решением в одно действие. Затем одно из данных этой задачи автор делал неизвестным, но при этом для его нахождения добавлял ряд утверждений. Таким образом, возникала новая задача .

Для составления других задач такой процесс повторялся нужное количество раз, при этом каждая последующая задача опиралась на результат решения предыдущей.

В итоге подобных преобразований возникает целый цикл взаимосвязанных задач, процесс конструирования которых наглядно можно изобразить в виде схемы, представленной на рисунке 2.

Приведем пример цикла задач 1.1−1.3, образованных по данной схеме.

1.1 В четырехугольнике ABCD AD=BC, Докажите, что (Структура задачи ;

1.2 В четырехугольнике ABCD отрезок BD пересекает диагональ AC в её середине O. Докажите, что, если. (Новая структура —, так как здесь равенство «AD=BC» заменяется утверждением, что «BD пересекает AC в её середине O». Из этого легко вытекает равенство треугольников AOD и BOC, приводящее решающего к замененному равенству).

1.3 В четырехугольнике ABCD диагонали точки пересечения делятся пополам. Докажите, что, так как исходные равенства сторон AD, BC и углов CAD, ACB, замененных, соответственно, неявными утверждениями, что AO=OC, а BO=OD, легко находятся из ставшего очевидным равенства треугольников BOC и AOD).

С течением времени циклы взаимосвязанных задач, именуемые авторами блоками, системами, совокупностями и т. д., не раз становились объектами исследования. Сегодня примеры таких блоков можно встретить в работах Э. Г. Готмана, Г. В. Дорофеева, Т. М. Калинкиной, Е. С. Канина, И. Я. Куприяновой, И. Я. Кушнира, Н. С. Мельник, Г. И. Саранцева, Г. В. Токмазова, И. В. Ульяновой, Б. Ф. Харитонова, П. М. Эрдниева и многих других. В основу составления циклов таких задач авторами кладется либо содержательный аспект взаимосвязи между задачами, либо деятельностный (на основе деятельности, но их решению).

Первый аспект оказывается более распространенным. Многие исследователя при составлении задачных блоков опираются именно на непрерывность линии содержания. Хотя используемые ими при этом принципы объединения задач в такие блоки нередко различаются. Это может быть общая конфигурация, встречающаяся в каждой задаче и являющаяся ключом к ее решению (Б. Ф. Харитонов), или различные вариации одной и той же конфигурации (Э. Г. Готман, И. А. Кушнир), или одна и та же «окрестность» задач, то есть определенный круг понятий, теорем, методов рассуждений и т. д.

Наиболее популярной основой объединения задач в блоки выступает принцип «рассмотрения и составления задач, порожденных данной, или, иначе говоря, задач, развивающих тему одной задачи» (И. Е. Дразнин, Т. М. Калинкина, Е. С. Канин, Г. В. Токмазов, П. М. Эрдниев и др.). Действительно, если рассмотреть, к примеру, укрупненное упражнение П. М. Эрдниева — «главное оружие теории УДЕ» [21], представляющее собой «многокомпонентное задание, образующееся из нескольких логически разнородных, по психологически состыкованных в некоторую целостность частей, например: а) решение обычной „готовой“ задачи; б) составление обратной задачи и ее решение; в) составление аналогичной задачи по данной формуле (тождеству) или уравнению и решение ее; г) составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей; д) решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным параметрам исходной задачи», то нетрудно заметить, что оно представляет собой блок взаимосвязанных задач, в котором одна задача («готовая») является основной, а другие — ее производными, полученными на ее основе. При этом автор явно не выделяет приемы образования новых задач, но они четко прослеживаются из указанных пунктов б) — д).

Подобно П. М. Эрдниеву, некоторые авторы, приводя примеры готовых блоков взаимосвязанных задач, также не раскрывают механизма их получения (Н. С. Мельник). Однако в ряде научно-методических работ такие приемы прописаны достаточно четко. Например, Е. С. Канин выделяет следующие приемы составления новых задач [6]:

• 1) замена части данных в исходной задаче другими данными без замены заключения задачи;
• 2) обобщение данных или исходных;
• 3) специализация данных или исходных;
• 4) добавление новых заключений при сохранении данных;
• 5) замена части данных исходной задачи ее искомыми (часть данных принимается за искомые, а некоторые искомые считаются данными), т. е. путем обращения задачи.

Впервые наиболее полно методика использования блоков взаимосвязанных задач в обучении математике была исследована и раскрыта в диссертационном исследовании Т. М. Калинкиной «Динамические задачи как средство совершенствования процесса обучения геометрии в средней школе» [15]. Под динамическими задачами автор понимает совокупность задач, построение которых удовлетворяет одному или нескольким требованиям:

• 1) условие последующей задачи использует результат решения предыдущей;
• 2) в решении задачи используется результат предыдущей задачи;
• 3) задачи являются элементами основной задачи;
• 4) условия задачи одинаковы, а требования различны;
• 5) требования задач одинаковы, а условия задач являются производными от условия исходной задачи.

Данное определение обусловливает совокупность выделяемых Т. М. Калинкиной приемов составления блоков динамических задач, в которую входит построение взаимообратных и противоположных задач, обобщение и конкретизация задач, рассмотрение задач-аналогов, расчленения условия и требования задачи на части и включение их в новые связи, составление задач на основе использования в них результата решения предыдущих задач.

Подробно исследуя различные аспекты включения динамических задач в учебный процесс, Т. М. Калинкина отмечает, что методика их использования на уроках геометрии предполагает организацию работы трех видов:

• 1) работу по готовым, составленным учителем, динамическим задачам;
• 2) совместную деятельность учителя и ученика по получению динамических задач;
• 3) организацию деятельности по самостоятельному составлению динамических задач учениками.

Дальнейшие исследования в области разрешения проблемы использования блоков взаимосвязанных задач в обучении математике показали, что указанные этапы имеют смысл и для включения в процесс обучения учащихся задач, взаимосвязанных между собой в контексте деятельностного аспекта, т. е. на основе деятельности по их решению.

Попытки связать воедино несколько задач, учитывая какую-либо взаимосвязь между их решениями, встречались в методической литературе неоднократно. Но, в целом, они сводились либо к использованию в условии или решении новой задачи результата решения предыдущей задачи, либо к объединению задач на основе общего метода, приема или способа их решения.

Более глубоко, на наш взгляд, связь между решениями задач раскрывается лишь в блоках, так называемых укрупненных задач — конструкциях, содержащих в себе две или более задачи, взаимосвязанные между собой так, что решение каждой последующей из них включает в себя как составную часть решение одной из предшествующих ей задач, расширяя его (укрупняя) посредством выполнения одного или нескольких новых действий [16; 18]. Приемами образования таких блоков выступают [16; 17]:

• 1) замена требования задачи каким-либо новым требованием;
• 2) расширение чертежа задачи;
• 3) обращение задач;
• 4) замена условия задачи каким-либо новым условием.

Современные исследования показывают, что блоки укрупненных задач можно использовать на уроках математики как средство достижения различных образовательных целей: формирования у учащихся математических понятий, организации их работы с теоремой, осуществление контроля за уровнем усвоения школьниками изучаемого учебного материала и др. Работа с такими блоками эффективно способствует активизации мыслительной деятельности обучаемых, воспитания у них многих положительных личностных качеств, систематизации и обобщения их знаний, умений и навыков и т. д. В соответствии с темой нашей курсовой работы ниже представим примеры таких блоков взаимосвязанных задач, предназначенных для формирования у учащихся действий, адекватных методам геометрических преобразований плоскости. Однако прежде на таких действиях остановимся подробно.