Индексный метод изучения динамики среднего уровня заработной платы на предприятиях розничной торговли города

Имеются следующие выборочные данные по торговым предприятиям города за год (выборка 10%-ная, механическая):

Задание 1.

По исходным данным (табл.1) необходимо выполнить следующее:

Построить статистический ряд распределения предприятий по признаку среднегодовая заработная плата, образовав пять групп с равными интервалами.

Графическим методом и путем расчётов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.

Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1.1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

1.1 Построение интервального ряда распределения предприятий по среднегодовой зарплате

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение банков по валовому доходу, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле.

(1).

где — наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, kчисло групп интервального ряда.

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных.

k= 5, xmax= 320 тыс. руб., xmin= 170 тыс. руб.:

При h =30 тыс. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2.

Таблица 3.

Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки.

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая таблица 4, представляющая интервальный ряд распределения предприятий по среднегодовой зарплате.

Таблица 4.

Распределение предприятий.

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 — 6 табл. 5. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле.

Таблица 5.

Характеристики ряда распределения предприятий по средней цене за 1 кг товара.

Вывод Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по среднегодовой заработной плате не является равномерным: преобладают предприятия со среднегодовой заработной платой от 230 тыс. руб. до 260 тыс. руб. (это 12 предприятий, доля которых составляет 36%); 30% предприятий имеют среднегодовою зарплату менее230 тыс. руб., а 70% - менее 260 тыс. руб.

1.2 Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Модля дискретного ряда — это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту).

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

(3).

где хМoнижняя граница модального интервала,.

h-величина модального интервала,.

fMo — частота модального интервала,.

fMo-1 — частота интервала, предшествующего модальному,.

fMo+1- частота интервала, следующего за модальным.

Расчет моды по формуле (3):

Вывод:Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная среднегодовая зарплата характеризуется средней величиной 246,36 тыс. руб.

Медиана Ме — это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равнаполусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

Медианным интервалом является интервал230−260 тыс. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота Sj= 21впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (=).

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой. Кумулята строится по накопленным частотам.

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

(4).

где хМенижняя граница медианного интервала,.

h — величина медианного интервала,.

— сумма всех частот,.

fМе — частота медианного интервала,.

SMе-1 — кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Расчет значения медианы по формуле (4):

Ме=238,57 руб.

Вывод:В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют в среднем среднегодовую зарплату не более 238,57 тыс. руб., а другая половина — не менее 238,57 тыс. руб.

1.3 Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения, у, у2, Vу на основе табл.5 строится вспомогательная таблица 6 (- середина j-го интервала).

Таблица 6.

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения.

Группы предприятий по среднегодовой зарплате, тыс.руб.	Середина интервала,.	Число предприятий,. fj.
170−200.				— 59.
200−230.				— 29.
230−260.
260−290.
290−320.
Итого.

Расчет средней арифметической взвешенной:

(5).

Расчет дисперсии:

Расчет среднего квадратического отклонения:=31,4483.

Расчет коэффициента вариации:

(7).

Вывод: Анализ полученных значений показателей иу говорит о том, что средний объем среднегодовой зарплаты предприятий составляет 244 тыс. руб., отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем31,4 тыс. руб. (или 12,8%), наиболее характерные значения объема среднегодовой зарплаты находятся в пределах от 212,55 тыс. руб. до 275,44 тыс. руб. (диапазон).

Значение Vу =12,8% не превышает 33%, следовательно, вариация средний цены за 1 кг товара в исследуемой совокупностипредприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями, Мо и Ме незначительно (=244 тыс. руб., Мо=246,36 тыс. руб., Ме=тыс руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение объема среднегодовой зарплаты предприятий (244 тысруб) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий. статистический заработная индексный.

1.4 Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

(8).

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти предприятий, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание 2.

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками среднегодовая ЗПифонд ЗП, образовав по каждому признаку пять групп с равными интервалами, используя метод аналитической группировки.

Оценить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

По условию Задания 2 факторным является признак среднегодовая заработная плата.

• (X), результативным — фонд заработной платы (Y).
• 2.1 Установление наличия и характера связи между признаками среднегодовая ЗП и фонд ЗП методом аналитической группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Дополним разработочную таблицу 3 графой 4.

Разработочная таблица для построения аналитической группировки.

Макет аналитической группировки Групповые средние значения получаем из разработочной таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 8.

Зависимость среднегодовой ЗП предприятийот фонда ЗП.

Вывод:Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением объема среднегодовой ЗП от группы к группе систематически возрастают и объемы фонда ЗП по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2.2 Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели — эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле.

(9).

где — общая дисперсия признака Y,.

— межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах. При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними — равенство =1.

Общая дисперсияхарактеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле.

(10).

где yi — индивидуальные значения результативного признака;

— общая средняя значений результативного признака;

n — число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

(11).

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

(12).

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12.

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии.

Номер Предприятия п/п.	Фонд ЗП, млн руб.
	2,736.	— 0,4295.	0,18 447.	7,485 696.
	2,122.	— 1,0435.	1,88 892.	4,502 884.
	3,920.	0,7545.	0,56 927.	15,3664.
	3,900.	0,7345.	0,53 949.	15,21.
	3,000.	— 0,1655.	0,2 739.
	2,016.	— 1,1495.	1,32 135.	4,64 256.
	5,160.	1,9945.	3,97 803.	26,6256.
	3,650.	0,4845.	0,23 474.	13,3225.
	3,300.	0,1345.	0,1 809.	10,89.
	2,190.	— 0,9755.	0,9516.	4,7961.
	3,450.	0,2845.	0,8 094.	11,9025.
	4,208.	1,0425.	1,86 806.	17,70 726.
	3,750.	0,5845.	0,34 164.	14,0625.
	2,647.	— 0,5185.	0,268 842.	7,6 609.
	1,760.	— 1,4055.	1,97 543.	3,0976.
	2,880.	— 0,2855.	0,8 151.	8,2944.
	4,090.	0,9245.	0,8547.	16,7281.
	3,450.	0,2845.	0,8 094.	11,9025.
	3,408.	0,2425.	0,58 806.	11,61 446.
	2,100.	— 1,0655.	1,13 529.	4,41.
	2,520.	— 0,6455.	0,41 667.	6,3504.
	3,160.	— 0,0055.	3,03E-05.	9,9856.
	4,440.	1,2745.	1,62 435.	19,7136.
	2,300.	— 0,8655.	0,74 909.	5,29.
	2,850.	— 0,3155.	0,9 954.	8,1225.
	2,410.	— 0,7555.	0,57 078.	5,8081.
	3,150.	— 0,0155.	0,24.	9,9225.
	4,400.	1,2345.	1,52 399.	19,36.
	2,830.	— 0,3355.	0,11 256.	8,0089.
	3,096.	— 0,0695.	0,483.	9,585 216.
Итого.	94,965.		19,98 031.	320,1362.

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле.

.

где — средняя из квадратов значений результативного признака,.

— квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера.

Тогда.

Межгрупповая дисперсияизмеряетсистематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней. Показатель вычисляется по формуле.

(13).

гдегрупповые средние,.

• — общая средняя,
• -число единиц в j-ой группе,

k — число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 13 При этом используются групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13.

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии.

Группы предприятий по объему среднегодовой ЗП, тысруб.	Число предприятий,.	Среднее значение в группе.
170−200.		2,991.	— 0,174.	0,0908.
200−230.		2,362.	— 0,803.	3,8688.
230−260.		3,108.	— 0,057.	0,0389.
260−290.		3,994.	0,829.	4,810.
290−320.		4,78.	1,615.	5,2164.
Итого.		14,0249.

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

или 70,2%.

Вывод.70,2% вариации объема продаж предприятий обусловлено вариацией среднегодовой ЗП, а 29,8% - влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле.

(14).

Значение показателя изменяются в пределах. Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14.

Шкала Чэддока.

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между среднегодовой ЗПи фондом ЗП предприятий является тесной.

Задание 3.

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

• 1) ошибку выборки среднегодовой заработной платы и границы, в которых будет находиться среднегодовая заработная платадля предприятий генеральной совокупности;
• 2) ошибку выборки доли предприятий с уровнем среднегодовой заработной платы менее 230 тыс. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.
• 3.1 Определение ошибки выборки для среднегодовой ЗПи границы, в которых она будет находиться для предприятий генеральной совокупности

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т. е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину е, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок — среднюю и предельную .

Средняя ошибка выборки — это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т. е. от своего математического ожидания M[].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле.

(15).

гдеобщая дисперсия выборочных значений признаков,.

N — число единиц в генеральной совокупности,.

n — число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборкиопределяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

.

(16).

где — выборочная средняя,.

— генеральная средняя.

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т. е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0.954, Р= 0.997, реже Р= 0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратностиt (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой.

(17).

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):

Таблица 15.

По условию примера выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 10% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 300предприятий. Выборочная средняя, дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:

Таблица 16.

Р.	t.	N.	N.
0,997.	2,0.

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

.

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):

Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

• 244−59,34 244+59,34,
• 184,66 руб.303,34 руб.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования предприятий с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий среднегодовая ЗП предприятий находится в пределах от 184,66 тыс. руб. до 303,34 тыс. руб.

3.2 Определение ошибку выборки доли предприятий с уровнем среднегодовой ЗП230 тыс. руб. и менее и границы, в которых будет находиться генеральная доля

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой.

(18).

где m — число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n — общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле.

(19).

где w — доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-w) — доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,.

N — число единиц в генеральной совокупности,.

nчисло единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля единиц, обладающих заданным свойством:

(20).

По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение среднегодовой ЗП предприятий величины 230 тыс. руб.

Число предприятий с заданным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):

m=9.

Расчет выборочной доли по формуле (18):

Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:

Определение по формуле (20) доверительного интервала генеральной доли:

• 0,3−0,630,3+0,0063
• 0,2937 0,0,3063

Или.

29,3% 30,6%.

Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности предприятий доля предприятий со средней величиной уровня среднегодовой ЗП 230 тыс. руб. и ниже будет находиться в пределах от 29,3% до 30,6%.