Методика группировки показателей

Выборка банков Таблица 1 — Список 30 крупнейших банков России по размеру капитала, млн. руб.

Способ отбора банков — механический. Я выбрал каждый второй банк.

a) 1 Анализ выборочной совокупности

b) а) Количество групп определяем по формуле Стерджесса:

n = 1+3,322 lg N

где: n — число групп;

N — число единиц совокупности.

n=1+3,322 lg 30=5,906 997?6

Величина интервала определяется по формуле:

h = (X_max — X_min) /n

где: X_max — максимальное значение группировочного признака;

X_min — минимальное значение группировочного признака.

h₁=(25 286−425)/6 = 4143,5 млн руб.

Таблица 2 — Группировка банков по чистым активам, млн. руб.

h₂ = (1962;5)/6=326,2 млн руб.

Таблица 3 — Группировка банков по прибыли, млн. руб.

б) Графики по данным полученных рядов:

Рисунок 1 — Группировка банков по чистым активам, млн. руб.

Рисунок 2 — Группировка банков по прибыли, млн. руб.

в) Средняя арифметическая взвешенная находится по формуле:

x =? x_i * f_i /? f_i

Таблица 4 — Таблица для расчета средней арифметической по чистым активам

х=166 059,5/30=5535,3 млн руб.

Таблица 5 — Таблица для расчета средней арифметической по прибыли

х=8630,18/30=287,7 млн руб.

Мода находится по формуле:

Мо = Хо + К*(F_MO — F_MO-1 / (F_MO — F_MO-1)+(F_MO — F_MO+1))

где: Хо — нижняя (начальная) граница модального интервала;

К — величина интервала;

F_MO — частота модального интервала;

F_MO-1 — частота интервала, предшествующего модальному;

F_MO+1-частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Находим модальный интервал по наибольшей частоте f₁. Наибольшая частота равна 20. Модальный интервал — [425−4568,5]. Хо = 425, К=4143,5

Мо ₁ = 425 + 4143,5*(20−0/(20−0)+(20−5))= 2604,04 млн руб.

Вывод: наиболее часто встречается банк с размером чистых активов 2604,04 млн руб.

f₂ =24. Модальный интервал — [5−331,16]. Хо = 5, К=326,2

Мо ₂ = 5 + 326,2*(24−0/(24−0)+(24−4))= 178,8 млн руб.

Вывод: наиболее часто встречается банк с размером прибыли 178,8 млн руб.

Для определения медианы рассчитывают ее порядковый номер (N_Me)

N_Me = (n+1)/2

N_Me = (30+1)/2 = 15,5

Рассчитываем медиану (Ме) по формуле:

Ме = Хо + К*((f / 2 — S_Me-1) / f_Me)

где: Хо — нижняя граница медианного интервала;

К — величина интервала;

f = n — число единиц совокупности;

S_Me-1 — накопленная частота, предшествующая медианному интервалу;

f_Me — медианная частота.

Ме ₁ = 425 + 4143,5*((30/2 — 0)/20) = 3426,4 млн руб.

То есть 15 банков имеет чистые активы более 3426,4 млн руб. и 15 — менее 3426,4 млн руб.

Ме ₂ = 5 + 326,2*((30/2 — 0)/24) = 207 млн руб.

То есть 15 банков имеет прибыль более 207 млн руб. и 15 — менее 207 млн руб.

Абсолютные показатели вариации Размах вариации — это разность между максимальным и минимальным значением статистической совокупности. Находится по формуле:

R=X_max — X_min

где: X_max — максимальное значение признака;

X_min — минимальное значение признака.

R₁ = 25 286−425 = 24 861 млн руб.

Разница между банком с максимальным размером чистых активов и банком с минимальным размером чистых активов равна 24 861 млн руб.

R₂ =1962;5 = 1957 млн руб.

Разница между банком с максимальным размером прибыли и банком с минимальным размером прибыли равна 1957 млн руб.

Среднее линейное отклонение — это средняя величина из отклонений значений признака от их средней. Находится по формуле:

d = |X_i — X| *f_i / f_i

где X_i — значение признака;

Х — среднее значение признака;

f — частота.

Таблица 6 — Расчет среднего линейного отклонения по чистым активам

d = 0,5/30 = 0,02 млн руб.

Средняя величина из отклонений размера чистых активов от их средней составляет 0,02 млн руб.

Таблица 7 — Расчет среднего линейного отклонения по прибыли

d = -0,82/30 = -0,03 млн руб.

Средняя величина из отклонений размера прибыли от их средней составляет -0,03 млн руб.

Дисперсия — средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Находится по формуле:

² = (X_i — X)² *f_i / f_i

Таблица 8 — Расчет дисперсии по чистым активам

² =924 814 835,8/30=30 827 161,2 млн руб.

Таблица 9 — Расчет дисперсии по прибыли

² = 3 081 544,5 /30 =102 718,1 млн руб.

Среднее квадратическое отклонение — это корень квадратный из дисперсии. Находится по формуле:

у= ((X_i — X)²*f_i / f_i)

у= 30 827 161,2 =5552,2 млн руб.

у= 102 718,1 = 320,5 млн руб.

Относительные показатели вариации В общем виде они показывают отношение абсолютных показателей вариации к средней величине. К ним относятся:

Коэффициент осцилляции. Находится по формуле:

V_R = R / x * 100%

V_R1 = 24 861 / 5535,3 * 100% = 449,1%

V_R2 =1957 / 287,7 *100% = 680,2%

Относительное линейное отклонение. Находится по формуле:

V_d = d / x * 100%

V_d1 = 0,02 / 5535,3 * 100% = 0,0004%

V_d1 = -0,03 / 287,7* 100% =-0,01%

Коэффициент вариации (характеризует однородность совокупности). Находится по формуле:

V_у = у / x * 100%

V_у1= 5552,2 / 5535,3 * 100% = 100% > 33% (совокупность неоднородная)

V _у1= 320,5/ 287,7* 100% = 111%> 33% (совокупность неоднородная) г) Определение количественных характеристик распределения. К ним относятся:

— Показатель асимметрии. Находится по формуле:

As = ₃ / ³

₃ = (X_i — X)³ * f_i / f_i

где: ₃ — центральный момент 3 — го порядка;

³ — среднее квадратичное отклонение в кубе.

Таблица 10 — Расчет асимметрии по чистым активам, млн. руб.

₃ =10 213 827 610 502,7 / 30 = 340 460 920 350,1

As = 340 460 920 350,1/171 157 252 096,6 = 1,9 > 0, асимметрия правосторонняя Таблица 11 — Расчет асимметрии по прибыли, млн. руб.

₃ = 3 596 493 494,9 / 30 = 119 883 116,5

As = 119 883 116,5/32 921 840,1= 3,6>0, асимметрия является правосторонней.

Чтобы определить является ли асимметрия существенной или несущественной рассчитывают отношение показателя асимметрии к среднеквадратическому отклонению:

As / _As

где: _As — среднеквадратическая ошибка асимметрии.

Она зависит от объема совокупности и рассчитывается по формуле:

_As = 6*(n — 1)/(n+1)*(n+3)

_As = 6 * (30 — 1)/(30+1)*(30+3) = 0,4

As / _As (по чистым активам) = 1,9 / 0,4 = 4,75>3

As / _As (по прибыли) = 3,6/ 0,4 = 9>3

Таким образом, As / _As во всех случаях > 3 асимметрия существенна. Так как асимметрия существенна, эксцесс не рассчитывается.

д) Нахождение эмпирической функции и построение ее графика.

Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нормируются, а затем по специальным таблицам находим плотность распределения нормированной случайной величины:

t = (x_i — x) /

f ^| = (f * k /)* (t)

Таблица 14 — Расчет теоретических частот по чистым активам

Таблица 15 — Расчет теоретических частот по прибыли

Рисунок 3 — Эмпирическая и теоретическая функции распределения по чистым активам Рисунок 4 — Эмпирическая и теоретическая функции распределения по прибыли ж) Проверим гипотезу о том, что изучаемые признаки подчиняются нормальному закону распределения с помощью математического критерия Романовского:

=(²_расч — (h-l₁))/2 — (h-l₁)

²_расч = (f — f ^|)² / f

где: f — эмпирические частоты;

f ^| — теоретические частоты.

h — число групп;

l — число независимых параметров, которые необходимо знать, чтобы построить кривую теоретического распределения.

Таблица 16 — Проверка гипотезы по размеру чистых активов

²_расч = 22,4

= (22,4 — (6−2-1))/(2*(6−2-1))= 7,9>3, следовательно, что гипотеза о соответствии распределения банков по размеру чистых активов закону нормального распределения отвергается Таблица 17 — Проверка гипотезы по размеру прибыли

²_расч = 21

= (21 — (6−2-1))/(2*(6−2-1))= 7,3 3, следовательно, что гипотеза о соответствии распределения банков по размеру прибыли закону нормального распределения отвергается.

з) Определение границ, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение выбранных показателей в генеральной совокупности. Средняя ошибка выборки определяется по формуле:

= ² / n * (1 — (n/N))

где: n — число единиц в выборочной совокупности;

N — число единиц в генеральной совокупности.

m = 30 827 161,2 /30*(1 — (30/200))= 1099,5 млн руб.

m = 102 718,1 /30*(1 — (30/200))=63,5 млн руб.

Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

= * t

где t — коэффициент доверия, определяемый в зависимости от вероятности по таблицам. p = 0,95 t = 1,96

= 1099,5*1,96 = 2155,02 млн руб.

= 63,5*1,96 = 124,4 млн руб.

Границы среднего значения показателя определяются по формуле:

Х= Х

где: Х — среднее арифметическое значение признака.

Х = 5535,3+ 2155,02 =7690,3 млн руб.

Х = 5535,3 — 2155,02 =3380,5 млн руб.

Х = 287,7 +124,4= 412,1 млн руб.

Х = 287,7 — 124,4= 163,3 млн руб.

Границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя чистых активов в генеральной совокупности, лежит в пределах 3380,5 млн руб. Х 7690,3 млн руб.

Границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя прибыль в генеральной совокупности, лежит в пределах 163,3 млн руб. Х 412,1 млн руб.

По выше приведенным расчетам можно сделать следующие выводы:

— из 30 отобранных банков, наиболее часто встречаются банки с размером чистых активов 2604,04 млн руб., с размером прибыли 178,8 млн руб.;

— из отобранных банков 15 имеют размер чистых активов больше 3426,4 млн руб. и 15 менее. И прибыль 15 банков больше 207 млн руб., а у 15 менее;

— по данным абсолютных показателей вариации выборки по прибыли значительно ниже, чем по чистым активам;

— по данным относительных показателей совокупность неоднородная. Ассиметрия по чистым активам и по прибыли является правосторонней.

— границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя чистых активов в генеральной совокупности, лежит в пределах

3380,5 млн руб. Х 7690,3 млн руб., прибыль в пределах 163,3 млн руб. Х 412,1 млн руб.;

— гипотеза о том, что изучаемые признаки подчиняются нормальному закону распределения отвергается;

— зависимость между чистыми активами и прибылью по тесноте связи сильная, по направлению прямая;

— параметр коэффициента, а не значим и не может распространяться на всю совокупность, а параметр b значим и его можно разместить на всю совокупность;

— коэффициент корреляции статистически значим.

Список используемой литературы

1. Конспект лекций

2. Статистика: учеб./ И. И. Елисеева А.В.