Математический аппарат методов поддержки принятия решений семейства Electre

математическая модель методов Electre Iv

Рассматривается множество альтернатив V ={V₁, V₂ … V_L}, каждая из которых представляет собой независимый вариант решения поставленной проблемы.

Для оценки альтернатив из множества V вводится множество критериев К={K₁, K₂ … K_N} и множество весов критериев P={P₁, P₂ … P_N} (каждому элементу K_n ставится в соответствие элемент P_n). Значения P_n задаются экспертно и представляют собой константы (0.

n<1), для которых выполняется условие (1):

N.

? P_n =1. (1).

n=1.

В случае, когда N достаточно велико, для обеспечения выполнения условия (1) применяется процедура нормирования, состоящая в делении веса каждого критерия на сумму весов всех критериев.

Для каждого критерия K_n должно быть определено направление изменения его качества: минимизация (минимальная оценка по критерию считается наилучшей) или максимизация (максимальная оценка по критерию считается наилучшей). Качественные критерии требуют предварительной разработки балльных шкал, позволяющих проводить количественное оценивание, причем единственно возможным для качественных критериев направлением является «максимизация» (наибольшее количество баллов присваивается наилучшей оценке).

Каждая альтернатива из множества V получает количественную экспертную оценку по каждому критерию из множества K, в результате чего формируется матрица F с элементами F_ln, представляющими собой оценку альтернативы V_l по критерию K_n (существенным моментом является то, что в качестве оценок альтернатив могут использоваться как статистические, так и прогнозные данные, характеризующиеся разной размерностью):

___ ___.

F = {F_ln}; l=1,L, n=1,N. (2).

Попарное сравнение альтернатив методами ELECTRE предполагает выдвижение и проверку гипотезы о том, что альтернатива V_i не хуже, чем альтернатива V_k (запись данной гипотезы осуществляется введением бинарного отношения S, которое означает «не хуже чем»):

__ ___.

V_iSV_k, i=1,L; k=1,L. (3).

Для проверки гипотезы (3) рассчитывается индекс согласия и осуществляется его сравнение с предварительно заданным экспертным путем уровнем согласия.

Индекс согласия (для сравнения альтернатив V_i и V_k) обозначается.

__ __.

SO (V_i, V_k), i=1,L; k=1,L (4).

SO (V_i, V_k) показывает насколько альтернатива V_i превосходит альтернативу V_k по всем рассматриваемым критериям и рассчитывается как сумма весов P_n всех критериев K_n, по которым альтернатива V_i оказалась лучше (не хуже) альтернативы V_k :

N.

SO (V_i, V_k) =? P_n,: (5).

n=1.

где n определяется из следующих условий для критериев с направлением «максимизация»:

__ __ __.

F_in? F_kn, i =1,L, k =1,L, n =1,N;

для критериев с направлением «минимизация»:

__ __ __.

F_in? F_kn, i =1,L, k =1,L, n =1,N.

Уровень согласия - s - определяется экспертно и обозначает минимально допустимый с точки зрения ЛПР суммарный вес критериев, по которым альтернатива V_i может быть лучше альтернативы V_k, для того, чтобы признать справедливой гипотезу (3).

Для каждого критерия K_n вводится задаваемый экспертно вето-порог v_n, определяющий критичную с точки зрения ЛПР разницу между оценками альтернатив V_i и V_k по данному критерию (F_in-F_kn): превышение данного параметра позволяет наложить вето на гипотезу (3).

Определения условия наложения вето критерием K_n на гипотезу (3) различаются в зависимости от направления изменения качества этого критерия.

Для критериев с направлением «максимизация» вето на гипотезу (3) накладывается, если разница между оценками альтернатив V_k и V_i по критерию K_n превышает или равна вето-границе v_n:

__ __ __.

(F_kn-F_in)?v_n.; i=1,L, k=1,L, n=1,N. (6).

Для критериев с направлением «минимизация» вето на гипотезу (3) накладывается, если разница между оценками альтернатив V_i и V_k по критерию K_n превышает или равна его вето-границе v_n:

__ __ __.

(F_in-F_kn)?v_n.; i=1,L, k=1,L, n=1,N. (7).

Таким образом, для признания справедливости гипотезы (3) в методе ELECTRE Iv необходимо выполнение двух условий:

__ __.

1) SO (V_i, V_k)?s, i=1,L; k=1,L. (8).

__ __ ___.

2) (F_kn-F_in)<v_n, i=1,L; k=1,L, K_n>max, n=1,N, или (9).

__ __ ___.

(F_in-F_kn)<v_n.; i=1,L, k=1,L, K_n>min, n=1,N.

В противном случае альтернативы V_i и V_k несравнимы.