Барометрическая формула. 
Основные законы и понятия механики, молекулярной физики и термодинамики

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоёв газа. Давление на высоте h+dh будет P+dP (dh>0, dP<0, т.к. вес и давление с высотой убывают).

Разность давлений P и P+dP обусловлена весом газа, заключённого в объёме цилиндра, с площадью основания, равной и высотой dh (Рис. 8.8).

Рис. 8.8.

.

где — плотность газа на высоте, отсюда.

(*).

При нормальных условиях воздух можно считать идеальным газом. Тогда можно найти из уравнения состояния идеального газа, здесьМ — средняя масса моля воздуха. Плотность, подставим в (*), получим.

.

Поделим обе части на Р:. Возьмём интеграл от левой и правой частей:

.

Предел давление на уровне h=0. Для случая, когда температура постоянная (изотермическая атмосфера), интегрируя, получим:

отсюда получаем барометрическую формулу.

Рис. 8.9.

Графическая иллюстрация этой формулы на рис. 8.9 Давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ и чем ниже температура.

Распределение Больцмана В барометрической формуле в отношении M/R разделим и числитель и знаменатель на число Авогадро .

где масса одной молекулы, постоянная Больцмана.

Вместо Р и подставим соответственно. (см. лекцию № 7), где плотность молекул на высоте h, плотность молекул на высоте .

Из барометрической формулы в результате подстановок и сокращений получим распределение концентрации молекул по высоте в поле силы тяжести Земли.

Из этой формулы следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает (рис. 8.10), обращаясь в 0 при Т=0 (при абсолютном нуле все молекулы расположились бы на поверхности Земли). При высоких температурах n слабо убывает с высотой, так.

Рис. 8.10.

что молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно. Распределение молекул по высоте является результатом конкуренции между притяжением молекул к Земле и тепловым движением, стремящимся разбросать молекулы по всем высотам. На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии.

.Следовательно, распределение молекул по высоте является и распределением их по значениям потенциальной энергии.

(*).

где плотность молекул в том месте пространства, где потенциальная энергия молекулы имеет значение; плотность молекул в том месте, где потенциальная энергия равна 0.

Больцман доказал, что распределение (*) справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Таким образом, закон Больцмана (*) даёт распределение частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения, по значениям потенциальной энергии. (рис. 8.11).

Рис. 8.1.