Экономико-математические методы. 
Экономико-математические методы

1. Задача 1

перевозка продукция расход потребитель Составить модель оптимального плана выпуска продукции для цеха кондитерской фабрики. Виды выпускаемой продукции (М), виды основного сырья (П) и его запасы, нормы расхода сырья на единицу, уровни прибыли приведены в таблицах. Рассчитать план и провести его анализ.

Решение.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции.

F (X) = 20×1 + 28×2 + 24×3 при следующих условиях-ограничениях:

2x1 + 3×2 + 4×3?273.

x1 + 4×2 + 3×3?200.

3x1 + x2 + 2×3?303.

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме): В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x6.

• 2x1 + 3×2 + 4×3 + 1×4 + 0×5 + 0×6 = 273
• 1x1 + 4×2 + 3×3 + 0×4 + 1×5 + 0×6 = 200
• 3x1 + 1×2 + 2×3 + 0×4 + 0×5 + 1×6 = 303

Матрица коэффициентов A = a (ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные переменные задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6.

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,273,200,303).

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация № 0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 и из них выберем наименьшее: min (273: 3, 200: 4, 303: 1) = 50.

Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x2.

Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=4 На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x2 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ СТЭ — элемент старого плана, РЭ — разрешающий элемент (4), А и В — элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Получаем новую симплекс-таблицу:

Итерация № 1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1.

и из них выберем наименьшее: min (123: 11/4, 50: ¼, 253: 23/4) = 92.

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (23/4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x6 в план 2 войдет переменная x1. Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=23/4.

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Получаем новую симплекс-таблицу:

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Оптимальный план можно записать так:

x2 = 27.

x1 = 92.

F (X) = 28*27 + 20*92 = 2596.

Анализ оптимального плана.

В оптимальный план вошла дополнительная переменная x4. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 1-го вида в количестве 8.

Значение 0 в столбце x1 означает, что использование x1 — выгодно.

Значение 0 в столбце x2 означает, что использование x2 — выгодно.

Значение 210/11> 0 в столбце x3 означает, что использование x3 — не выгодно.

Значение 59/11 в столбце x5 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 59/11.

Значение 48/11 в столбце x6 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 48/11.

2. Задача 2

Составить оптимальный план перевозок пищевых продуктов от 4-х поставщиков к 6-ти потребителям. Поставщики (П), потребители (М), объемы вывоза и завоза, кратчайшие расстояния между пунктами вывоза и завоза приведены в таблицах.

Решение.

Математическая модель транспортной задачи:

F = ??cijxij, (1).

при условиях:

• ?xij = ai, i = 1,2,…, m, (2)
• ?xij = bj, j = 1,2,…, n, (3)

xij >= 0.

Запишем экономико-математическую модель для нашей задачи.

Переменные:

x11 — количество груза из 1-го склада в 1-й магазин.

x12 — количество груза из 1-го склада в 2-й магазин.

x13 — количество груза из 1-го склада в 3-й магазин.

x14 — количество груза из 1-го склада в 4-й магазин.

x15 — количество груза из 1-го склада в 5-й магазин.

x16 — количество груза из 1-го склада в 6-й магазин.

x21 — количество груза из 2-го склада в 1-й магазин.

x22 — количество груза из 2-го склада в 2-й магазин.

x23 — количество груза из 2-го склада в 3-й магазин.

x24 — количество груза из 2-го склада в 4-й магазин.

x25 — количество груза из 2-го склада в 5-й магазин.

x26 — количество груза из 2-го склада в 6-й магазин.

x31 — количество груза из 3-го склада в 1-й магазин.

x32 — количество груза из 3-го склада в 2-й магазин.

x33 — количество груза из 3-го склада в 3-й магазин.

x34 — количество груза из 3-го склада в 4-й магазин.

x35 — количество груза из 3-го склада в 5-й магазин.

x36 — количество груза из 3-го склада в 6-й магазин.

x41 — количество груза из 4-го склада в 1-й магазин.

x42 — количество груза из 4-го склада в 2-й магазин.

x43 — количество груза из 4-го склада в 3-й магазин.

x44 — количество груза из 4-го склада в 4-й магазин.

x45 — количество груза из 4-го склада в 5-й магазин.

x46 — количество груза из 4-го склада в 6-й магазин Ограничения по запасам:

x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 <= 148.

x21 + x22 + x23 + x24 + x25 + x26 <= 76.

x31 + x32 + x33 + x34 + x35 + x36 <= 144.

x41 + x42 + x43 + x44 + x45 + x46 <= 132.

Ограничения по потребностям:

x11 + x21 + x31 + x41 >= 112.

x12 + x22 + x32 + x42 >= 92.

x13 + x23 + x33 + x43 >= 84.

x14 + x24 + x34 + x44 >= 36.

x15 + x25 + x35 + x45 >= 80.

x16 + x26 + x36 + x46 >= 96.

Целевая функция:

32×11 + 9×12 + 24×13 + 28×14 + 30×15 + 27×16 + 40×21 + 24×22 + 22×23 + 23×24 + 20×25 + 21×26 + 15×31 + 25×32 + 30×33 + 21×34 + 39×35 + 38×36 + 39×41 + 11×42 + 36×43 + 8×44 + 27×45 + 30×46 > min.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

• ?a = 148 + 76 + 144 + 132 = 500
• ?b = 112 + 92 + 84 + 36 + 80 + 96 = 500

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 8.

Для этого элемента запасы равны 132, потребности 36. Поскольку минимальным является 36, то вычитаем его.

x44 = min (132,36) = 36.

Искомый элемент равен 9.

Для этого элемента запасы равны 148, потребности 92. Поскольку минимальным является 92, то вычитаем его.

x12 = min (148,92) = 92.

Искомый элемент равен 15.

Для этого элемента запасы равны 144, потребности 112. Поскольку минимальным является 112, то вычитаем его. x31 = min (144,112) = 112.

x25 = min (76,80) = 76.

Искомый элемент равен 24.

Для этого элемента запасы равны 56, потребности 84. Поскольку минимальным является 56, то вычитаем его.

x13 = min (56,84) = 56.

Искомый элемент равен 27.

Для этого элемента запасы равны 96, потребности 4. Поскольку минимальным является 4, то вычитаем его. x45 = min (96,4) = 4.

Искомый элемент равен 30.

Для этого элемента запасы равны 32, потребности 28. Поскольку минимальным является 28, то вычитаем его. x33 = min (32,28) = 28.

Искомый элемент равен 30.

Для этого элемента запасы равны 92, потребности 96. Поскольку минимальным является 92, то вычитаем его.

x46 = min (92,96) = 92.

Искомый элемент равен 38.

Для этого элемента запасы равны 4, потребности 4. Поскольку минимальным является 4, то вычитаем его.

x36 = min (4,4) = 4.

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 9, а должно быть m + n — 1 = 9.

Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F (x) = 9*92 + 24*56 + 20*76 + 15*112 + 30*28 + 38*4 + 8*36 + 27*4 + 30*92 = 9520.

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

u1 + v2 = 9; 0 + v2 = 9; v2 = 9.

u1 + v3 = 24; 0 + v3 = 24; v3 = 24.

u3 + v3 = 30; 24 + u3 = 30; u3 = 6.

u3 + v1 = 15; 6 + v1 = 15; v1 = 9.

u3 + v6 = 38; 6 + v6 = 38; v6 = 32.

u4 + v6 = 30; 32 + u4 = 30; u4 = -2.

u4 + v4 = 8; -2 + v4 = 8; v4 = 10.

u4 + v5 = 27; -2 + v5 = 27; v5 = 29.

u2 + v5 = 20; 29 + u2 = 20; u2 = -9.

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij.

• (1;6): 0 + 32 > 27; ?16 = 0 + 32 — 27 = 5
• (2;6): -9 + 32 > 21; ?26 = -9 + 32 — 21 = 2

max (5,2) = 5.

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;6): 27.

Для этого в перспективную клетку (1;6) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Цикл приведен в таблице (1,6 > 1,3 > 3,3 > 3,6).

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т. е. у = min (3, 6) = 4. Прибавляем 4 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 4 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых полагая, что u1=0.

ui + vj = cij,.

u1 + v2 = 9; 0 + v2 = 9; v2 = 9.

u1 + v3 = 24; 0 + v3 = 24; v3 = 24.

u3 + v3 = 30; 24 + u3 = 30; u3 = 6.

u3 + v1 = 15; 6 + v1 = 15; v1 = 9.

u1 + v6 = 27; 0 + v6 = 27; v6 = 27.

u4 + v6 = 30; 27 + u4 = 30; u4 = 3.

u4 + v4 = 8; 3 + v4 = 8; v4 = 5.

u4 + v5 = 27; 3 + v5 = 27; v5 = 24.

u2 + v5 = 20; 24 + u2 = 20; u2 = -4.

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых.

ui + vj > cij.

• (2;6): -4 + 27 > 21; ?26 = -4 + 27 — 21 = 2
• (4;2): 3 + 9 > 11; ?42 = 3 + 9 — 11 = 1

max (2,1) = 2.

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;6): 21.

Для этого в перспективную клетку (2;6) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».