Потенциальный барьер бесконечной ширины. 
Уравнение Шредингера и его решение для случаев ЕU

Рассмотрим теперь одномерный потенциальный барьер бесконечной ширины (рис. 35.2), который по определению задается следующей зависимостью потенциальной энергии от координаты х:

Рассмотрим движение микрочастицы в таком поле, которое иногда также называют полем прямоугольной ступеньки. Если в классической физике частица с энергией Е Рис. 35.2 попадает (падает) слева па такой барьер, то при Е > U она свободно пройдет над барьером, а при Е < U энергии частицы недостаточно, и она отразится от барьера. В свою очередь в квантовой физике процессы отражения и прохождения микрочастицы через барьер в такой задаче вследствие принципа неопределенности энергии носят вероятностный характер. Так, для микрочастицы существует вероятность при Е> U отразиться от барьера, а при Е < U — углубиться в барьер.

Покажем это путем решения уравнения Шредингера. Для х < 0 (в области 1) в отсутствие потенциальной энергии стационарное уравнение Шредингера имеет вид.

с общим решением.

Для х > 0 (в области 2) при наличии потенциальной энергии стационарное уравнение Шредингера имеет вид.

с общим решением.

Общие решения этих дифференциальных уравнений можно представить, выразив энергию через импульс в виде.

При этом v|/(_r) представляет собой только координатную часть волновой функции [i (x, /:) (34.10), которая должна быть дополнена зависящей от вре;

мени составляющей ехр —ht :

у h)

Из условия постоянства фазы очевидно, что первая составляющая волновой функции соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х (вправо): Et — рх = const, откуда с ростом времени t растет координатах. В свою очередь, вторая составляющая волновой функции соответствует волне, распространяющейся в отрицательном направлении оси х (влево): Et + рх = const, откуда с ростом времени t координата х убывает.

Для микрочастицы, летящей вправо из -°о, запишем, проанализируем и свяжем решения стационарного уравнения Шредингера в двух областях, учитывая возможности отражения микрочастицы от стенки барьера:

• для области 1:

• для области 2:

Здесь учтено, что в области 1 может существовать волна (i I— «).

Б, ехр —v2 тЕх, отраженная от стенки барьера, а в области 2 отражен;

I Ь)

ной (движущейся влево) волны нет, поскольку не от чего отражаться.

Рассмотрим сначала случай, когда полная энергия частицы меньше высоты барьера: Е < U.

Классическая физика запрещает такой частице заходить в область барьера, поскольку ее кинетическая энергия в области х > 0 отрицательна. В квантовой физике этот запрет снимается. Если Е < U, то под корнем уравнения (35.25) стоит отрицательное выражение, преобразование которого (вынос из-под корня -1) приводит к появлению действительной волновой функции экспоненциального вида, описывающей затухание волны внутри барьера:

Физический смысл волновой функции экспоненциального вида состоит в том, что, попав в энергетически запрещенную область, волна не исчезает сразу, а претерпевает экспоненциальное затухание. При этом затухание внутри барьера падающей волны означает не потерю ее энергии, а отражение волны.

Чтобы найти соотношение вероятностей нахождения микрочастицы в различных областях и точках пространства, необходимо воспользоваться условиями непрерывности волновой функции |/ и ее производной у' на стенке барьера х = 0:

Из этих условий следует.

Избавляясь в системе от А₂, получим уравнение.

где коэффициент q = определяется относительным превышением.

V ^Е U-E

энергии барьера над энергией частицы-. В результате можно выра;

Е

зить амплитуду отраженной волны через амплитуду падающей волны:

Несложно убедиться, что модуль дроби в этом выражении равен единице:

откуда следует, что модуль амплитуды отраженной волны равен модулю амплитуды падающей волны. Это означает, что волна полностью отражается и коэффициент отражения волны при Е < U равен единице: R = 1.

И действительно, волна не исчезает, а полностью отражается, немного углубившись внутрь барьера. При этом внутри барьера существует экспоненциально затухающая волновая функция с амплитудой.

Примерно такой же эффект имеет место при полном внутреннем отражении света от границы раздела в оптике.

Рассмотрим теперь случай, когда полная энергия частицы больше высоты барьера: Е > U. В классической физике такая частица свободно заходит в область барьера. Покажем, что в квантовой физике это не так. Для этого проведем сшивку функций (35.24), (35.26) с учетом условий (35.27) на стейке барьера х = 0:

Избавляясь в системе от А₂, получим уравнение.

, ^Е~^и

где коэффициент г= —-— определяется относительным превышением.

V Е

EU _n

энергии частицы нал энергией оарьера-. В результате можно выра;

Е

зить амплитуду отраженной и прошедшей волн через амплитуду падающей волны:

Найдем коэффициент прозрачности (прохождения) D потенциального барьера, определяемый как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Плотность потока микрочастиц равна произведению скорости частиц на их плотность vp. Скорость частиц в области 1 равна г = ^2Е/т, а в области 2 она равна v₂ = yj2(E-U)/т. В свою очередь, плотность частиц пропорциональна квадрату амплитуды волны. В результате имеем для коэффициента прозрачности.

Аналогично для коэффициента отражения от потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока отраженных частиц к плотности потока падающих (с учетом одинаковых скоростей), получаем формулу.

Поскольку микрочастицы при взаимодействии с барьером никуда не исчезают и могут либо пройти барьер, либо отразиться, то выполняется естественное соотношение.

При Е > U > 0 очевидно 0 < г < 1, так что имеем, что коэффициент отражения лежит в пределах 0 < R < 1.

Таким образом, несмотря на достаточную при Е> Uс точки зрения классической физики энергию, существует вероятность отражения микрочастицы от барьера. При этом квантовый расчет показывает, что коэффициент прохождения равен единице только в случае г = 1 — только тогда, когда U = О и барьер попросту отсутствует. Кстати, последнее утверждение математически подтверждает ранее сделанное предположение о том, что отражение возможно лить на неоднородностях потенциала.

Следует сделать еще одно важное замечание по поводу того, что коэффициент отражения зависит лишь от энергии частицы и потенциальной энергии барьера, но не зависит от постоянной Планка и массы частицы. Формально это позволяет применить выведенную формулу для коэффициента отражения даже для бильярдного шара, что противоречит принципу соответствия и ньютоновой механике. Впрочем, это противоречие кажущееся. Классический предел в данной задаче подразумевает, помимо прочего, то, что длина волны де Бройля частицы мала по сравнению с характерным размером изменения потенциальной энергии. Это делает формальный переход к классике для вертикальной ступеньки потенциальной энергии некорректным.